Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16144 / 12048
↖ ↑ ↗
← N 42.940339°
W  2.636719°		 ← 894.27 m → N 42.940339°
W  2.625733°		 →
↑
894.36 m
↓
↑
894.36 m
↓
N 42.932296°
W  2.636719°		 ← 894.39 m →
799 853 m²		 N 42.932296°
W  2.625733°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16144 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12048 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492691040039062 y=0.367691040039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492691040039062 × 215)
    floor (0.492691040039062 × 32768)
    floor (16144.5)     		tx = 16144
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.367691040039062 × 215)
    floor (0.367691040039062 × 32768)
    floor (12048.5)     		ty = 12048
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16144 / 12048 ti = "15/16144/12048"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16144/12048.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16144 ÷ 215
    16144 ÷ 32768     		x = 0.49267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12048 ÷ 215
    12048 ÷ 32768     		y = 0.36767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49267578125 × 2 - 1) × π
    -0.0146484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.04601942
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36767578125 × 2 - 1) × π
    0.2646484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.831417587010254
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04601942} λ = -0.04601942}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.831417587010254))-π/2
    2×atan(2.29657202448267)-π/2
    2×1.16012331416384-π/2
    2.32024662832767-1.57079632675     		φ = 0.74945030
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04601942} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.636719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74945030 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.940339°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16144 KachelY 12048 -0.04601942 0.74945030 -2.636719 42.940339
    Oben rechts KachelX + 1 16145 KachelY 12048 -0.04582768 0.74945030 -2.625733 42.940339
    Unten links KachelX 16144 KachelY + 1 12049 -0.04601942 0.74930992 -2.636719 42.932296
    Unten rechts KachelX + 1 16145 KachelY + 1 12049 -0.04582768 0.74930992 -2.625733 42.932296
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74945030-0.74930992) × R
    0.000140380000000051 × 6371000     		dl = 894.360980000325m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74945030-0.74930992) × R
    0.000140380000000051 × 6371000     		dr = 894.360980000325m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04601942--0.04582768) × cos(0.74945030) × R
    0.000191739999999996 × 0.732063455134092 × 6371000     		do = 894.270810519675m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04601942--0.04582768) × cos(0.74930992) × R
    0.000191739999999996 × 0.732159079893084 × 6371000     		du = 894.387623386278m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74945030)-sin(0.74930992))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.732063455134092-0.732159079893084)×R²
    abs(-0.04582768--0.04601942)×9.56247589917192e-05×R²
    0.000191739999999996×9.56247589917192e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.56247589917192e-05×40589641000000     		ar = 799853.156230038m²