Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 16352 / 16480
↖ ↑ ↗
← S  1.054628°
W  0.351562°		 ← 1 221.37 m → S  1.054628°
W  0.340576°		 →
↑
1 221.38 m
↓
↑
1 221.38 m
↓
S  1.065612°
W  0.351562°		 ← 1 221.36 m →
1 491 758 m²		 S  1.065612°
W  0.340576°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16352 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16480 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499038696289062 y=0.502944946289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499038696289062 × 215)
    floor (0.499038696289062 × 32768)
    floor (16352.5)     		tx = 16352
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.502944946289062 × 215)
    floor (0.502944946289062 × 32768)
    floor (16480.5)     		ty = 16480
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16352 / 16480 ti = "15/16352/16480"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16352/16480.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16352 ÷ 215
    16352 ÷ 32768     		x = 0.4990234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16480 ÷ 215
    16480 ÷ 32768     		y = 0.5029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4990234375 × 2 - 1) × π
    -0.001953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.00613592
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5029296875 × 2 - 1) × π
    -0.005859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0184077694541016
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00613592} λ = -0.00613592}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0184077694541016))-π/2
    2×atan(0.981760618734067)-π/2
    2×0.776194798409588-π/2
    1.55238959681918-1.57079632675     		φ = -0.01840673
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00613592} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.351562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01840673 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.054628°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16352 KachelY 16480 -0.00613592 -0.01840673 -0.351562 -1.054628
    Oben rechts KachelX + 1 16353 KachelY 16480 -0.00594418 -0.01840673 -0.340576 -1.054628
    Unten links KachelX 16352 KachelY + 1 16481 -0.00613592 -0.01859844 -0.351562 -1.065612
    Unten rechts KachelX + 1 16353 KachelY + 1 16481 -0.00594418 -0.01859844 -0.340576 -1.065612
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01840673--0.01859844) × R
    0.000191710000000001 × 6371000     		dl = 1221.38441000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01840673--0.01859844) × R
    0.000191710000000001 × 6371000     		dr = 1221.38441000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00613592--0.00594418) × cos(-0.01840673) × R
    0.000191739999999999 × 0.999830600928244 × 6371000     		do = 1221.36860623744m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00613592--0.00594418) × cos(-0.01859844) × R
    0.000191739999999999 × 0.999827054000066 × 6371000     		du = 1221.36427339674m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01840673)-sin(-0.01859844))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999830600928244-0.999827054000066)×R²
    abs(-0.00594418--0.00613592)×3.54692817761126e-06×R²
    0.000191739999999999×3.54692817761126e-06×6371000²
    0.000191739999999999×3.54692817761126e-06×40589641000000     		ar = 1491757.93305866m²