Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16480 / 16352
↖ ↑ ↗
← N  0.351560°
E  1.054688°		 ← 1 221.62 m → N  0.351560°
E  1.065674°		 →
↑
1 221.58 m
↓
↑
1 221.58 m
↓
N  0.340574°
E  1.054688°		 ← 1 221.62 m →
1 492 297 m²		 N  0.340574°
E  1.065674°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16480 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16352 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502944946289062 y=0.499038696289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502944946289062 × 215)
    floor (0.502944946289062 × 32768)
    floor (16480.5)     		tx = 16480
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.499038696289062 × 215)
    floor (0.499038696289062 × 32768)
    floor (16352.5)     		ty = 16352
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16480 / 16352 ti = "15/16480/16352"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16480/16352.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16480 ÷ 215
    16480 ÷ 32768     		x = 0.5029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16352 ÷ 215
    16352 ÷ 32768     		y = 0.4990234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5029296875 × 2 - 1) × π
    0.005859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.01840777
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4990234375 × 2 - 1) × π
    0.001953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.00613592315136719
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01840777} λ = 0.01840777}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.00613592315136719))-π/2
    2×atan(1.00615478648942)-π/2
    2×0.788466105722083-π/2
    1.57693221144417-1.57079632675     		φ = 0.00613588
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01840777} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.054688°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00613588 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.351560°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16480 KachelY 16352 0.01840777 0.00613588 1.054688 0.351560
    Oben rechts KachelX + 1 16481 KachelY 16352 0.01859952 0.00613588 1.065674 0.351560
    Unten links KachelX 16480 KachelY + 1 16353 0.01840777 0.00594414 1.054688 0.340574
    Unten rechts KachelX + 1 16481 KachelY + 1 16353 0.01859952 0.00594414 1.065674 0.340574
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.00613588-0.00594414) × R
    0.00019174 × 6371000     		dl = 1221.57554m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.00613588-0.00594414) × R
    0.00019174 × 6371000     		dr = 1221.57554m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01840777-0.01859952) × cos(0.00613588) × R
    0.000191750000000001 × 0.999981175547373 × 6371000     		do = 1221.61625330982m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01840777-0.01859952) × cos(0.00594414) × R
    0.000191750000000001 × 0.999982333651847 × 6371000     		du = 1221.6176680957m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.00613588)-sin(0.00594414))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999981175547373-0.999982333651847)×R²
    abs(0.01859952-0.01840777)×1.15810447398612e-06×R²
    0.000191750000000001×1.15810447398612e-06×6371000²
    0.000191750000000001×1.15810447398612e-06×40589641000000     		ar = 1492297.40301556m²