Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16608 / 11488
↖ ↑ ↗
← N 47.279229°
E  2.460937°		 ← 828.79 m → N 47.279229°
E  2.471924°		 →
↑
828.80 m
↓
↑
828.80 m
↓
N 47.271775°
E  2.460937°		 ← 828.91 m →
686 954 m²		 N 47.271775°
E  2.471924°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16608 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11488 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.506851196289062 y=0.350601196289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.506851196289062 × 215)
    floor (0.506851196289062 × 32768)
    floor (16608.5)     		tx = 16608
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.350601196289062 × 215)
    floor (0.350601196289062 × 32768)
    floor (11488.5)     		ty = 11488
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16608 / 11488 ti = "15/16608/11488"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16608/11488.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16608 ÷ 215
    16608 ÷ 32768     		x = 0.5068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11488 ÷ 215
    11488 ÷ 32768     		y = 0.3505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5068359375 × 2 - 1) × π
    0.013671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.04295146
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3505859375 × 2 - 1) × π
    0.298828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.93879624215918
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04295146} λ = 0.04295146}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.93879624215918))-π/2
    2×atan(2.5569016746293)-π/2
    2×1.19798727033797-π/2
    2.39597454067595-1.57079632675     		φ = 0.82517821
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04295146} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.460937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82517821 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.279229°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16608 KachelY 11488 0.04295146 0.82517821 2.460937 47.279229
    Oben rechts KachelX + 1 16609 KachelY 11488 0.04314321 0.82517821 2.471924 47.279229
    Unten links KachelX 16608 KachelY + 1 11489 0.04295146 0.82504812 2.460937 47.271775
    Unten rechts KachelX + 1 16609 KachelY + 1 11489 0.04314321 0.82504812 2.471924 47.271775
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82517821-0.82504812) × R
    0.000130089999999972 × 6371000     		dl = 828.803389999819m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82517821-0.82504812) × R
    0.000130089999999972 × 6371000     		dr = 828.803389999819m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04295146-0.04314321) × cos(0.82517821) × R
    0.000191750000000004 × 0.67842605108918 × 6371000     		do = 828.791892233066m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04295146-0.04314321) × cos(0.82504812) × R
    0.000191750000000004 × 0.678521618398961 × 6371000     		du = 828.908641009712m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82517821)-sin(0.82504812))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.67842605108918-0.678521618398961)×R²
    abs(0.04314321-0.04295146)×9.55673097809973e-05×R²
    0.000191750000000004×9.55673097809973e-05×6371000²
    0.000191750000000004×9.55673097809973e-05×40589641000000     		ar = 686953.911746405m²