Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16632 / 11016
↖ ↑ ↗
← N 50.680797°
E  2.724609°		 ← 774.08 m → N 50.680797°
E  2.735596°		 →
↑
774.14 m
↓
↑
774.14 m
↓
N 50.673835°
E  2.724609°		 ← 774.19 m →
599 291 m²		 N 50.673835°
E  2.735596°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16632 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11016 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.507583618164062 y=0.336196899414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.507583618164062 × 215)
    floor (0.507583618164062 × 32768)
    floor (16632.5)     		tx = 16632
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336196899414062 × 215)
    floor (0.336196899414062 × 32768)
    floor (11016.5)     		ty = 11016
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16632 / 11016 ti = "15/16632/11016"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16632/11016.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16632 ÷ 215
    16632 ÷ 32768     		x = 0.507568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11016 ÷ 215
    11016 ÷ 32768     		y = 0.336181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.507568359375 × 2 - 1) × π
    0.01513671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.04755340
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.336181640625 × 2 - 1) × π
    0.32763671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.02930110864185
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04755340} λ = 0.04755340}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02930110864185))-π/2
    2×atan(2.79910887792333)-π/2
    2×1.22767155224873-π/2
    2.45534310449746-1.57079632675     		φ = 0.88454678
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04755340} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.724609°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88454678 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.680797°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16632 KachelY 11016 0.04755340 0.88454678 2.724609 50.680797
    Oben rechts KachelX + 1 16633 KachelY 11016 0.04774515 0.88454678 2.735596 50.680797
    Unten links KachelX 16632 KachelY + 1 11017 0.04755340 0.88442527 2.724609 50.673835
    Unten rechts KachelX + 1 16633 KachelY + 1 11017 0.04774515 0.88442527 2.735596 50.673835
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88454678-0.88442527) × R
    0.000121509999999936 × 6371000     		dl = 774.140209999591m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88454678-0.88442527) × R
    0.000121509999999936 × 6371000     		dr = 774.140209999591m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04755340-0.04774515) × cos(0.88454678) × R
    0.000191749999999997 × 0.633640190185394 × 6371000     		do = 774.079726707932m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04755340-0.04774515) × cos(0.88442527) × R
    0.000191749999999997 × 0.633734189032109 × 6371000     		du = 774.194559388534m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88454678)-sin(0.88442527))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.633640190185394-0.633734189032109)×R²
    abs(0.04774515-0.04755340)×9.39988467150155e-05×R²
    0.000191749999999997×9.39988467150155e-05×6371000²
    0.000191749999999997×9.39988467150155e-05×40589641000000     		ar = 599290.691225458m²