Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16632 / 11032
↖ ↑ ↗
← N 50.569283°
E  2.724609°		 ← 775.92 m → N 50.569283°
E  2.735596°		 →
↑
775.99 m
↓
↑
775.99 m
↓
N 50.562304°
E  2.724609°		 ← 776.03 m →
602 147 m²		 N 50.562304°
E  2.735596°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16632 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11032 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.507583618164062 y=0.336685180664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.507583618164062 × 215)
    floor (0.507583618164062 × 32768)
    floor (16632.5)     		tx = 16632
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336685180664062 × 215)
    floor (0.336685180664062 × 32768)
    floor (11032.5)     		ty = 11032
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16632 / 11032 ti = "15/16632/11032"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16632/11032.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16632 ÷ 215
    16632 ÷ 32768     		x = 0.507568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11032 ÷ 215
    11032 ÷ 32768     		y = 0.336669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.507568359375 × 2 - 1) × π
    0.01513671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.04755340
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.336669921875 × 2 - 1) × π
    0.32666015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.02623314706616
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04755340} λ = 0.04755340}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02623314706616))-π/2
    2×atan(2.79053447912819)-π/2
    2×1.22669840657652-π/2
    2.45339681315303-1.57079632675     		φ = 0.88260049
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04755340} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.724609°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88260049 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.569283°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16632 KachelY 11032 0.04755340 0.88260049 2.724609 50.569283
    Oben rechts KachelX + 1 16633 KachelY 11032 0.04774515 0.88260049 2.735596 50.569283
    Unten links KachelX 16632 KachelY + 1 11033 0.04755340 0.88247869 2.724609 50.562304
    Unten rechts KachelX + 1 16633 KachelY + 1 11033 0.04774515 0.88247869 2.735596 50.562304
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88260049-0.88247869) × R
    0.00012179999999995 × 6371000     		dl = 775.98779999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88260049-0.88247869) × R
    0.00012179999999995 × 6371000     		dr = 775.98779999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04755340-0.04774515) × cos(0.88260049) × R
    0.000191749999999997 × 0.635144693328959 × 6371000     		do = 775.917686799859m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04755340-0.04774515) × cos(0.88247869) × R
    0.000191749999999997 × 0.635238766106317 × 6371000     		du = 776.032609797037m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88260049)-sin(0.88247869))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.635144693328959-0.635238766106317)×R²
    abs(0.04774515-0.04755340)×9.40727773582894e-05×R²
    0.000191749999999997×9.40727773582894e-05×6371000²
    0.000191749999999997×9.40727773582894e-05×40589641000000     		ar = 602147.248926947m²