Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16638 / 11518
↖ ↑ ↗
← N 47.055154°
E  2.790527°		 ← 832.30 m → N 47.055154°
E  2.801514°		 →
↑
832.37 m
↓
↑
832.37 m
↓
N 47.047668°
E  2.790527°		 ← 832.41 m →
692 827 m²		 N 47.047668°
E  2.801514°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16638 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11518 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.507766723632812 y=0.351516723632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.507766723632812 × 215)
    floor (0.507766723632812 × 32768)
    floor (16638.5)     		tx = 16638
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.351516723632812 × 215)
    floor (0.351516723632812 × 32768)
    floor (11518.5)     		ty = 11518
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16638 / 11518 ti = "15/16638/11518"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16638/11518.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16638 ÷ 215
    16638 ÷ 32768     		x = 0.50775146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11518 ÷ 215
    11518 ÷ 32768     		y = 0.35150146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50775146484375 × 2 - 1) × π
    0.0155029296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.04870389
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35150146484375 × 2 - 1) × π
    0.2969970703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.933043814204773
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04870389} λ = 0.04870389}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.933043814204773))-π/2
    2×atan(2.54223550544277)-π/2
    2×1.19603184780101-π/2
    2.39206369560202-1.57079632675     		φ = 0.82126737
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04870389} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.790527°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82126737 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.055154°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16638 KachelY 11518 0.04870389 0.82126737 2.790527 47.055154
    Oben rechts KachelX + 1 16639 KachelY 11518 0.04889564 0.82126737 2.801514 47.055154
    Unten links KachelX 16638 KachelY + 1 11519 0.04870389 0.82113672 2.790527 47.047668
    Unten rechts KachelX + 1 16639 KachelY + 1 11519 0.04889564 0.82113672 2.801514 47.047668
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82126737-0.82113672) × R
    0.00013065000000001 × 6371000     		dl = 832.371150000063m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82126737-0.82113672) × R
    0.00013065000000001 × 6371000     		dr = 832.371150000063m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04870389-0.04889564) × cos(0.82126737) × R
    0.000191749999999997 × 0.681294027344564 × 6371000     		do = 832.295524594682m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04870389-0.04889564) × cos(0.82113672) × R
    0.000191749999999997 × 0.681389658619029 × 6371000     		du = 832.412351513095m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82126737)-sin(0.82113672))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.681294027344564-0.681389658619029)×R²
    abs(0.04889564-0.04870389)×9.5631274464214e-05×R²
    0.000191749999999997×9.5631274464214e-05×6371000²
    0.000191749999999997×9.5631274464214e-05×40589641000000     		ar = 692827.405610833m²