Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16638 / 11526
↖ ↑ ↗
← N 46.995241°
E  2.790527°		 ← 833.23 m → N 46.995241°
E  2.801514°		 →
↑
833.26 m
↓
↑
833.26 m
↓
N 46.987747°
E  2.790527°		 ← 833.35 m →
694 349 m²		 N 46.987747°
E  2.801514°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16638 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11526 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.507766723632812 y=0.351760864257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.507766723632812 × 215)
    floor (0.507766723632812 × 32768)
    floor (16638.5)     		tx = 16638
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.351760864257812 × 215)
    floor (0.351760864257812 × 32768)
    floor (11526.5)     		ty = 11526
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16638 / 11526 ti = "15/16638/11526"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16638/11526.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16638 ÷ 215
    16638 ÷ 32768     		x = 0.50775146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11526 ÷ 215
    11526 ÷ 32768     		y = 0.35174560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50775146484375 × 2 - 1) × π
    0.0155029296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.04870389
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35174560546875 × 2 - 1) × π
    0.2965087890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.931509833416931
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04870389} λ = 0.04870389}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.931509833416931))-π/2
    2×atan(2.53833875455387)-π/2
    2×1.19550900843076-π/2
    2.39101801686153-1.57079632675     		φ = 0.82022169
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04870389} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.790527°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82022169 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.995241°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16638 KachelY 11526 0.04870389 0.82022169 2.790527 46.995241
    Oben rechts KachelX + 1 16639 KachelY 11526 0.04889564 0.82022169 2.801514 46.995241
    Unten links KachelX 16638 KachelY + 1 11527 0.04870389 0.82009090 2.790527 46.987747
    Unten rechts KachelX + 1 16639 KachelY + 1 11527 0.04889564 0.82009090 2.801514 46.987747
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82022169-0.82009090) × R
    0.000130790000000047 × 6371000     		dl = 833.263090000301m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82022169-0.82009090) × R
    0.000130790000000047 × 6371000     		dr = 833.263090000301m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04870389-0.04889564) × cos(0.82022169) × R
    0.000191749999999997 × 0.682059102805572 × 6371000     		do = 833.230170807061m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04870389-0.04889564) × cos(0.82009090) × R
    0.000191749999999997 × 0.682154743313251 × 6371000     		du = 833.347009005131m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82022169)-sin(0.82009090))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.682059102805572-0.682154743313251)×R²
    abs(0.04889564-0.04870389)×9.56405076790734e-05×R²
    0.000191749999999997×9.56405076790734e-05×6371000²
    0.000191749999999997×9.56405076790734e-05×40589641000000     		ar = 694348.62627714m²