Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16639 / 11520
↖ ↑ ↗
← N 47.040182°
E  2.801514°		 ← 832.53 m → N 47.040182°
E  2.812500°		 →
↑
832.56 m
↓
↑
832.56 m
↓
N 47.032695°
E  2.801514°		 ← 832.65 m →
693 181 m²		 N 47.032695°
E  2.812500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16639 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11520 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.507797241210938 y=0.351577758789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.507797241210938 × 215)
    floor (0.507797241210938 × 32768)
    floor (16639.5)     		tx = 16639
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.351577758789062 × 215)
    floor (0.351577758789062 × 32768)
    floor (11520.5)     		ty = 11520
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16639 / 11520 ti = "15/16639/11520"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16639/11520.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16639 ÷ 215
    16639 ÷ 32768     		x = 0.507781982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11520 ÷ 215
    11520 ÷ 32768     		y = 0.3515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.507781982421875 × 2 - 1) × π
    0.01556396484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.04889564
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3515625 × 2 - 1) × π
    0.296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.932660319007813
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04889564} λ = 0.04889564}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.932660319007813))-π/2
    2×atan(2.54126075725446)-π/2
    2×1.19590119297073-π/2
    2.39180238594145-1.57079632675     		φ = 0.82100606
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04889564} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.801514°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82100606 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.040182°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16639 KachelY 11520 0.04889564 0.82100606 2.801514 47.040182
    Oben rechts KachelX + 1 16640 KachelY 11520 0.04908739 0.82100606 2.812500 47.040182
    Unten links KachelX 16639 KachelY + 1 11521 0.04889564 0.82087538 2.801514 47.032695
    Unten rechts KachelX + 1 16640 KachelY + 1 11521 0.04908739 0.82087538 2.812500 47.032695
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82100606-0.82087538) × R
    0.000130679999999939 × 6371000     		dl = 832.562279999609m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82100606-0.82087538) × R
    0.000130679999999939 × 6371000     		dr = 832.562279999609m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04889564-0.04908739) × cos(0.82100606) × R
    0.000191750000000004 × 0.681485285580883 × 6371000     		do = 832.529173163085m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04889564-0.04908739) × cos(0.82087538) × R
    0.000191750000000004 × 0.681580915543252 × 6371000     		du = 832.64599847859m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82100606)-sin(0.82087538))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.681485285580883-0.681580915543252)×R²
    abs(0.04908739-0.04889564)×9.56299623684487e-05×R²
    0.000191750000000004×9.56299623684487e-05×6371000²
    0.000191750000000004×9.56299623684487e-05×40589641000000     		ar = 693181.019737114m²