Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16640 / 11008
↖ ↑ ↗
← N 50.736455°
E  2.812500°		 ← 773.12 m → N 50.736455°
E  2.823486°		 →
↑
773.18 m
↓
↑
773.18 m
↓
N 50.729502°
E  2.812500°		 ← 773.24 m →
597 810 m²		 N 50.729502°
E  2.823486°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16640 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11008 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.507827758789062 y=0.335952758789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.507827758789062 × 215)
    floor (0.507827758789062 × 32768)
    floor (16640.5)     		tx = 16640
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335952758789062 × 215)
    floor (0.335952758789062 × 32768)
    floor (11008.5)     		ty = 11008
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16640 / 11008 ti = "15/16640/11008"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16640/11008.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16640 ÷ 215
    16640 ÷ 32768     		x = 0.5078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11008 ÷ 215
    11008 ÷ 32768     		y = 0.3359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5078125 × 2 - 1) × π
    0.015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.04908739
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3359375 × 2 - 1) × π
    0.328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.03083508942969
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04908739} λ = 0.04908739}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03083508942969))-π/2
    2×atan(2.80340595213717)-π/2
    2×1.22815725985374-π/2
    2.45631451970748-1.57079632675     		φ = 0.88551819
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04908739} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.812500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88551819 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.736455°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16640 KachelY 11008 0.04908739 0.88551819 2.812500 50.736455
    Oben rechts KachelX + 1 16641 KachelY 11008 0.04927913 0.88551819 2.823486 50.736455
    Unten links KachelX 16640 KachelY + 1 11009 0.04908739 0.88539683 2.812500 50.729502
    Unten rechts KachelX + 1 16641 KachelY + 1 11009 0.04927913 0.88539683 2.823486 50.729502
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88551819-0.88539683) × R
    0.000121359999999959 × 6371000     		dl = 773.184559999741m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88551819-0.88539683) × R
    0.000121359999999959 × 6371000     		dr = 773.184559999741m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04908739-0.04927913) × cos(0.88551819) × R
    0.000191739999999996 × 0.632888381473458 × 6371000     		do = 773.120966358149m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04908739-0.04927913) × cos(0.88539683) × R
    0.000191739999999996 × 0.632982338948803 × 6371000     		du = 773.235742511829m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88551819)-sin(0.88539683))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.632888381473458-0.632982338948803)×R²
    abs(0.04927913-0.04908739)×9.39574753444639e-05×R²
    0.000191739999999996×9.39574753444639e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.39574753444639e-05×40589641000000     		ar = 597809.566508341m²