Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16641 / 11006
↖ ↑ ↗
← N 50.750360°
E  2.823486°		 ← 772.93 m → N 50.750360°
E  2.834473°		 →
↑
772.99 m
↓
↑
772.99 m
↓
N 50.743408°
E  2.823486°		 ← 773.05 m →
597 516 m²		 N 50.743408°
E  2.834473°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16641 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11006 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.507858276367188 y=0.335891723632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.507858276367188 × 215)
    floor (0.507858276367188 × 32768)
    floor (16641.5)     		tx = 16641
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335891723632812 × 215)
    floor (0.335891723632812 × 32768)
    floor (11006.5)     		ty = 11006
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16641 / 11006 ti = "15/16641/11006"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16641/11006.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16641 ÷ 215
    16641 ÷ 32768     		x = 0.507843017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11006 ÷ 215
    11006 ÷ 32768     		y = 0.33587646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.507843017578125 × 2 - 1) × π
    0.01568603515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.04927913
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33587646484375 × 2 - 1) × π
    0.3282470703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.03121858462665
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04927913} λ = 0.04927913}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03121858462665))-π/2
    2×atan(2.80448125102774)-π/2
    2×1.22827859666491-π/2
    2.45655719332981-1.57079632675     		φ = 0.88576087
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04927913} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.823486°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88576087 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.750360°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16641 KachelY 11006 0.04927913 0.88576087 2.823486 50.750360
    Oben rechts KachelX + 1 16642 KachelY 11006 0.04947088 0.88576087 2.834473 50.750360
    Unten links KachelX 16641 KachelY + 1 11007 0.04927913 0.88563954 2.823486 50.743408
    Unten rechts KachelX + 1 16642 KachelY + 1 11007 0.04947088 0.88563954 2.834473 50.743408
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88576087-0.88563954) × R
    0.000121330000000031 × 6371000     		dl = 772.993430000195m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88576087-0.88563954) × R
    0.000121330000000031 × 6371000     		dr = 772.993430000195m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04927913-0.04947088) × cos(0.88576087) × R
    0.000191750000000004 × 0.632700469536004 × 6371000     		do = 772.93172707863m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04927913-0.04947088) × cos(0.88563954) × R
    0.000191750000000004 × 0.632794422419974 × 6371000     		du = 773.046503609338m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88576087)-sin(0.88563954))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.632700469536004-0.632794422419974)×R²
    abs(0.04947088-0.04927913)×9.3952883969961e-05×R²
    0.000191750000000004×9.3952883969961e-05×6371000²
    0.000191750000000004×9.3952883969961e-05×40589641000000     		ar = 597515.508355173m²