Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16641 / 11521
↖ ↑ ↗
← N 47.032695°
E  2.823486°		 ← 832.65 m → N 47.032695°
E  2.834473°		 →
↑
832.69 m
↓
↑
832.69 m
↓
N 47.025206°
E  2.823486°		 ← 832.76 m →
693 384 m²		 N 47.025206°
E  2.834473°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16641 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11521 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.507858276367188 y=0.351608276367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.507858276367188 × 215)
    floor (0.507858276367188 × 32768)
    floor (16641.5)     		tx = 16641
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.351608276367188 × 215)
    floor (0.351608276367188 × 32768)
    floor (11521.5)     		ty = 11521
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16641 / 11521 ti = "15/16641/11521"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16641/11521.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16641 ÷ 215
    16641 ÷ 32768     		x = 0.507843017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11521 ÷ 215
    11521 ÷ 32768     		y = 0.351593017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.507843017578125 × 2 - 1) × π
    0.01568603515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.04927913
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.351593017578125 × 2 - 1) × π
    0.29681396484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.932468571409332
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04927913} λ = 0.04927913}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.932468571409332))-π/2
    2×atan(2.5407735233216)-π/2
    2×1.19583585180294-π/2
    2.39167170360588-1.57079632675     		φ = 0.82087538
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04927913} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.823486°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82087538 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.032695°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16641 KachelY 11521 0.04927913 0.82087538 2.823486 47.032695
    Oben rechts KachelX + 1 16642 KachelY 11521 0.04947088 0.82087538 2.834473 47.032695
    Unten links KachelX 16641 KachelY + 1 11522 0.04927913 0.82074468 2.823486 47.025206
    Unten rechts KachelX + 1 16642 KachelY + 1 11522 0.04947088 0.82074468 2.834473 47.025206
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82087538-0.82074468) × R
    0.000130700000000039 × 6371000     		dl = 832.689700000249m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82087538-0.82074468) × R
    0.000130700000000039 × 6371000     		dr = 832.689700000249m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04927913-0.04947088) × cos(0.82087538) × R
    0.000191750000000004 × 0.681580915543252 × 6371000     		do = 832.64599847859m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04927913-0.04947088) × cos(0.82074468) × R
    0.000191750000000004 × 0.681676548499157 × 6371000     		du = 832.762827451118m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82087538)-sin(0.82074468))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.681580915543252-0.681676548499157)×R²
    abs(0.04947088-0.04927913)×9.56329559058666e-05×R²
    0.000191750000000004×9.56329559058666e-05×6371000²
    0.000191750000000004×9.56329559058666e-05×40589641000000     		ar = 693384.388806971m²