Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16644 / 11525
↖ ↑ ↗
← N 47.002734°
E  2.856446°		 ← 833.07 m → N 47.002734°
E  2.867431°		 →
↑
833.14 m
↓
↑
833.14 m
↓
N 46.995241°
E  2.856446°		 ← 833.19 m →
694 109 m²		 N 46.995241°
E  2.867431°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16644 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11525 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.507949829101562 y=0.351730346679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.507949829101562 × 215)
    floor (0.507949829101562 × 32768)
    floor (16644.5)     		tx = 16644
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.351730346679688 × 215)
    floor (0.351730346679688 × 32768)
    floor (11525.5)     		ty = 11525
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16644 / 11525 ti = "15/16644/11525"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16644/11525.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16644 ÷ 215
    16644 ÷ 32768     		x = 0.5079345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11525 ÷ 215
    11525 ÷ 32768     		y = 0.351715087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5079345703125 × 2 - 1) × π
    0.015869140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.04985438
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.351715087890625 × 2 - 1) × π
    0.29656982421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.931701581015411
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04985438} λ = 0.04985438}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.931701581015411))-π/2
    2×atan(2.53882552158089)-π/2
    2×1.19557439544353-π/2
    2.39114879088706-1.57079632675     		φ = 0.82035246
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04985438} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.856446°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82035246 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.002734°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16644 KachelY 11525 0.04985438 0.82035246 2.856446 47.002734
    Oben rechts KachelX + 1 16645 KachelY 11525 0.05004612 0.82035246 2.867431 47.002734
    Unten links KachelX 16644 KachelY + 1 11526 0.04985438 0.82022169 2.856446 46.995241
    Unten rechts KachelX + 1 16645 KachelY + 1 11526 0.05004612 0.82022169 2.867431 46.995241
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82035246-0.82022169) × R
    0.000130769999999947 × 6371000     		dl = 833.135669999661m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82035246-0.82022169) × R
    0.000130769999999947 × 6371000     		dr = 833.135669999661m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04985438-0.05004612) × cos(0.82035246) × R
    0.000191740000000003 × 0.681963465258298 × 6371000     		do = 833.069888333189m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04985438-0.05004612) × cos(0.82022169) × R
    0.000191740000000003 × 0.682059102805572 × 6371000     		du = 833.186716821644m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82035246)-sin(0.82022169))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.681963465258298-0.682059102805572)×R²
    abs(0.05004612-0.04985438)×9.5637547273375e-05×R²
    0.000191740000000003×9.5637547273375e-05×6371000²
    0.000191740000000003×9.5637547273375e-05×40589641000000     		ar = 694108.907553143m²