Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16646 / 11014
↖ ↑ ↗
← N 50.694718°
E  2.878418°		 ← 773.85 m → N 50.694718°
E  2.889404°		 →
↑
773.89 m
↓
↑
773.89 m
↓
N 50.687758°
E  2.878418°		 ← 773.96 m →
598 916 m²		 N 50.687758°
E  2.889404°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16646 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11014 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508010864257812 y=0.336135864257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508010864257812 × 215)
    floor (0.508010864257812 × 32768)
    floor (16646.5)     		tx = 16646
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336135864257812 × 215)
    floor (0.336135864257812 × 32768)
    floor (11014.5)     		ty = 11014
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16646 / 11014 ti = "15/16646/11014"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16646/11014.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16646 ÷ 215
    16646 ÷ 32768     		x = 0.50799560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11014 ÷ 215
    11014 ÷ 32768     		y = 0.33612060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50799560546875 × 2 - 1) × π
    0.0159912109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.05023787
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33612060546875 × 2 - 1) × π
    0.3277587890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.02968460383881
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05023787} λ = 0.05023787}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02968460383881))-π/2
    2×atan(2.80018252859056)-π/2
    2×1.22779303321111-π/2
    2.45558606642222-1.57079632675     		φ = 0.88478974
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05023787} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.878418°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88478974 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.694718°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16646 KachelY 11014 0.05023787 0.88478974 2.878418 50.694718
    Oben rechts KachelX + 1 16647 KachelY 11014 0.05042962 0.88478974 2.889404 50.694718
    Unten links KachelX 16646 KachelY + 1 11015 0.05023787 0.88466827 2.878418 50.687758
    Unten rechts KachelX + 1 16647 KachelY + 1 11015 0.05042962 0.88466827 2.889404 50.687758
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88478974-0.88466827) × R
    0.000121469999999957 × 6371000     		dl = 773.885369999725m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88478974-0.88466827) × R
    0.000121469999999957 × 6371000     		dr = 773.885369999725m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05023787-0.05042962) × cos(0.88478974) × R
    0.000191750000000004 × 0.633452210853778 × 6371000     		do = 773.850083778269m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05023787-0.05042962) × cos(0.88466827) × R
    0.000191750000000004 × 0.633546197457282 × 6371000     		du = 773.964901502083m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88478974)-sin(0.88466827))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.633452210853778-0.633546197457282)×R²
    abs(0.05042962-0.05023787)×9.39866035037928e-05×R²
    0.000191750000000004×9.39866035037928e-05×6371000²
    0.000191750000000004×9.39866035037928e-05×40589641000000     		ar = 598915.687023494m²