Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 16647 / 11527
↖ ↑ ↗
← N 46.987747°
E  2.889404°		 ← 833.35 m → N 46.987747°
E  2.900391°		 →
↑
833.39 m
↓
↑
833.39 m
↓
N 46.980253°
E  2.889404°		 ← 833.46 m →
694 552 m²		 N 46.980253°
E  2.900391°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16647 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11527 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508041381835938 y=0.351791381835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508041381835938 × 215)
    floor (0.508041381835938 × 32768)
    floor (16647.5)     		tx = 16647
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.351791381835938 × 215)
    floor (0.351791381835938 × 32768)
    floor (11527.5)     		ty = 11527
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16647 / 11527 ti = "15/16647/11527"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16647/11527.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16647 ÷ 215
    16647 ÷ 32768     		x = 0.508026123046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11527 ÷ 215
    11527 ÷ 32768     		y = 0.351776123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508026123046875 × 2 - 1) × π
    0.01605224609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.05042962
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.351776123046875 × 2 - 1) × π
    0.29644775390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.931318085818451
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05042962} λ = 0.05042962}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.931318085818451))-π/2
    2×atan(2.5378520808543)-π/2
    2×1.1954436122485-π/2
    2.390887224497-1.57079632675     		φ = 0.82009090
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05042962} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.889404°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82009090 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.987747°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16647 KachelY 11527 0.05042962 0.82009090 2.889404 46.987747
    Oben rechts KachelX + 1 16648 KachelY 11527 0.05062137 0.82009090 2.900391 46.987747
    Unten links KachelX 16647 KachelY + 1 11528 0.05042962 0.81996009 2.889404 46.980253
    Unten rechts KachelX + 1 16648 KachelY + 1 11528 0.05062137 0.81996009 2.900391 46.980253
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82009090-0.81996009) × R
    0.000130809999999926 × 6371000     		dl = 833.390509999527m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82009090-0.81996009) × R
    0.000130809999999926 × 6371000     		dr = 833.390509999527m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05042962-0.05062137) × cos(0.82009090) × R
    0.000191749999999997 × 0.682154743313251 × 6371000     		do = 833.347009005131m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05042962-0.05062137) × cos(0.81996009) × R
    0.000191749999999997 × 0.682250386774346 × 6371000     		du = 833.463850811212m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82009090)-sin(0.81996009))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.682154743313251-0.682250386774346)×R²
    abs(0.05062137-0.05042962)×9.56434610955847e-05×R²
    0.000191749999999997×9.56434610955847e-05×6371000²
    0.000191749999999997×9.56434610955847e-05×40589641000000     		ar = 694552.177257719m²