Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16656 / 11568
↖ ↑ ↗
← N 46.679595°
E  2.988281°		 ← 838.10 m → N 46.679595°
E  2.999267°		 →
↑
838.23 m
↓
↑
838.23 m
↓
N 46.672056°
E  2.988281°		 ← 838.21 m →
702 568 m²		 N 46.672056°
E  2.999267°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16656 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11568 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508316040039062 y=0.353042602539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508316040039062 × 215)
    floor (0.508316040039062 × 32768)
    floor (16656.5)     		tx = 16656
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.353042602539062 × 215)
    floor (0.353042602539062 × 32768)
    floor (11568.5)     		ty = 11568
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16656 / 11568 ti = "15/16656/11568"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16656/11568.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16656 ÷ 215
    16656 ÷ 32768     		x = 0.50830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11568 ÷ 215
    11568 ÷ 32768     		y = 0.35302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50830078125 × 2 - 1) × π
    0.0166015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.05215535
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35302734375 × 2 - 1) × π
    0.2939453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.923456434280762
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05215535} λ = 0.05215535}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.923456434280762))-π/2
    2×atan(2.51797859371336)-π/2
    2×1.19275447184897-π/2
    2.38550894369793-1.57079632675     		φ = 0.81471262
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05215535} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.988281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81471262 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.679595°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16656 KachelY 11568 0.05215535 0.81471262 2.988281 46.679595
    Oben rechts KachelX + 1 16657 KachelY 11568 0.05234709 0.81471262 2.999267 46.679595
    Unten links KachelX 16656 KachelY + 1 11569 0.05215535 0.81458105 2.988281 46.672056
    Unten rechts KachelX + 1 16657 KachelY + 1 11569 0.05234709 0.81458105 2.999267 46.672056
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81471262-0.81458105) × R
    0.00013156999999997 × 6371000     		dl = 838.232469999807m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81471262-0.81458105) × R
    0.00013156999999997 × 6371000     		dr = 838.232469999807m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05215535-0.05234709) × cos(0.81471262) × R
    0.000191739999999996 × 0.686077498914387 × 6371000     		do = 838.095491218174m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05215535-0.05234709) × cos(0.81458105) × R
    0.000191739999999996 × 0.68617321389585 × 6371000     		du = 838.21241429834m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81471262)-sin(0.81458105))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.686077498914387-0.68617321389585)×R²
    abs(0.05234709-0.05215535)×9.5714981462991e-05×R²
    0.000191739999999996×9.5714981462991e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.5714981462991e-05×40589641000000     		ar = 702567.859074805m²