Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 16657 / 11023
↖ ↑ ↗
← N 50.632042°
E  2.999267°		 ← 774.88 m → N 50.632042°
E  3.010254°		 →
↑
774.90 m
↓
↑
774.90 m
↓
N 50.625073°
E  2.999267°		 ← 775 m →
600 506 m²		 N 50.625073°
E  3.010254°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16657 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11023 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508346557617188 y=0.336410522460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508346557617188 × 215)
    floor (0.508346557617188 × 32768)
    floor (16657.5)     		tx = 16657
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336410522460938 × 215)
    floor (0.336410522460938 × 32768)
    floor (11023.5)     		ty = 11023
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16657 / 11023 ti = "15/16657/11023"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16657/11023.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16657 ÷ 215
    16657 ÷ 32768     		x = 0.508331298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11023 ÷ 215
    11023 ÷ 32768     		y = 0.336395263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508331298828125 × 2 - 1) × π
    0.01666259765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.05234709
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.336395263671875 × 2 - 1) × π
    0.32720947265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.02795887545248
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05234709} λ = 0.05234709}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02795887545248))-π/2
    2×atan(2.7953543413822)-π/2
    2×1.22724608499012-π/2
    2.45449216998024-1.57079632675     		φ = 0.88369584
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05234709} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.999267°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88369584 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.632042°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16657 KachelY 11023 0.05234709 0.88369584 2.999267 50.632042
    Oben rechts KachelX + 1 16658 KachelY 11023 0.05253884 0.88369584 3.010254 50.632042
    Unten links KachelX 16657 KachelY + 1 11024 0.05234709 0.88357421 2.999267 50.625073
    Unten rechts KachelX + 1 16658 KachelY + 1 11024 0.05253884 0.88357421 3.010254 50.625073
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88369584-0.88357421) × R
    0.000121629999999984 × 6371000     		dl = 774.904729999896m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88369584-0.88357421) × R
    0.000121629999999984 × 6371000     		dr = 774.904729999896m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05234709-0.05253884) × cos(0.88369584) × R
    0.000191750000000004 × 0.634298271612058 × 6371000     		do = 774.883664808469m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05234709-0.05253884) × cos(0.88357421) × R
    0.000191750000000004 × 0.634392297664295 × 6371000     		du = 774.998530724403m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88369584)-sin(0.88357421))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.634298271612058-0.634392297664295)×R²
    abs(0.05253884-0.05234709)×9.40260522365177e-05×R²
    0.000191750000000004×9.40260522365177e-05×6371000²
    0.000191750000000004×9.40260522365177e-05×40589641000000     		ar = 600505.522870881m²