Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16658 / 11026
↖ ↑ ↗
← N 50.611132°
E  3.010254°		 ← 775.23 m → N 50.611132°
E  3.021240°		 →
↑
775.29 m
↓
↑
775.29 m
↓
N 50.604160°
E  3.010254°		 ← 775.34 m →
601 069 m²		 N 50.604160°
E  3.021240°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16658 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11026 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508377075195312 y=0.336502075195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508377075195312 × 215)
    floor (0.508377075195312 × 32768)
    floor (16658.5)     		tx = 16658
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336502075195312 × 215)
    floor (0.336502075195312 × 32768)
    floor (11026.5)     		ty = 11026
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16658 / 11026 ti = "15/16658/11026"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16658/11026.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16658 ÷ 215
    16658 ÷ 32768     		x = 0.50836181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11026 ÷ 215
    11026 ÷ 32768     		y = 0.33648681640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50836181640625 × 2 - 1) × π
    0.0167236328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.05253884
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33648681640625 × 2 - 1) × π
    0.3270263671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.02738363265704
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05253884} λ = 0.05253884}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02738363265704))-π/2
    2×atan(2.7937467963453)-π/2
    2×1.22706360666714-π/2
    2.45412721333428-1.57079632675     		φ = 0.88333089
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05253884} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.010254°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88333089 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.611132°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16658 KachelY 11026 0.05253884 0.88333089 3.010254 50.611132
    Oben rechts KachelX + 1 16659 KachelY 11026 0.05273059 0.88333089 3.021240 50.611132
    Unten links KachelX 16658 KachelY + 1 11027 0.05253884 0.88320920 3.010254 50.604160
    Unten rechts KachelX + 1 16659 KachelY + 1 11027 0.05273059 0.88320920 3.021240 50.604160
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88333089-0.88320920) × R
    0.000121689999999952 × 6371000     		dl = 775.286989999695m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88333089-0.88320920) × R
    0.000121689999999952 × 6371000     		dr = 775.286989999695m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05253884-0.05273059) × cos(0.88333089) × R
    0.000191749999999997 × 0.634580367983464 × 6371000     		do = 775.228284808033m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05253884-0.05273059) × cos(0.88320920) × R
    0.000191749999999997 × 0.63467441223835 × 6371000     		du = 775.343172961039m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88333089)-sin(0.88320920))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.634580367983464-0.63467441223835)×R²
    abs(0.05273059-0.05253884)×9.40442548863496e-05×R²
    0.000191749999999997×9.40442548863496e-05×6371000²
    0.000191749999999997×9.40442548863496e-05×40589641000000     		ar = 601068.939878425m²