Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16664 / 11512
↖ ↑ ↗
← N 47.100045°
E  3.076172°		 ← 831.59 m → N 47.100045°
E  3.087158°		 →
↑
831.67 m
↓
↑
831.67 m
↓
N 47.092565°
E  3.076172°		 ← 831.71 m →
691 661 m²		 N 47.092565°
E  3.087158°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16664 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11512 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508560180664062 y=0.351333618164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508560180664062 × 215)
    floor (0.508560180664062 × 32768)
    floor (16664.5)     		tx = 16664
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.351333618164062 × 215)
    floor (0.351333618164062 × 32768)
    floor (11512.5)     		ty = 11512
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16664 / 11512 ti = "15/16664/11512"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16664/11512.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16664 ÷ 215
    16664 ÷ 32768     		x = 0.508544921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11512 ÷ 215
    11512 ÷ 32768     		y = 0.351318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508544921875 × 2 - 1) × π
    0.01708984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.05368933
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.351318359375 × 2 - 1) × π
    0.29736328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.934194299795654
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05368933} λ = 0.05368933}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.934194299795654))-π/2
    2×atan(2.545161993879)-π/2
    2×1.19642359226197-π/2
    2.39284718452395-1.57079632675     		φ = 0.82205086
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05368933} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.076172°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82205086 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.100045°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16664 KachelY 11512 0.05368933 0.82205086 3.076172 47.100045
    Oben rechts KachelX + 1 16665 KachelY 11512 0.05388108 0.82205086 3.087158 47.100045
    Unten links KachelX 16664 KachelY + 1 11513 0.05368933 0.82192032 3.076172 47.092565
    Unten rechts KachelX + 1 16665 KachelY + 1 11513 0.05388108 0.82192032 3.087158 47.092565
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82205086-0.82192032) × R
    0.000130540000000012 × 6371000     		dl = 831.670340000078m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82205086-0.82192032) × R
    0.000130540000000012 × 6371000     		dr = 831.670340000078m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05368933-0.05388108) × cos(0.82205086) × R
    0.000191749999999997 × 0.680720295882583 × 6371000     		do = 831.594631721766m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05368933-0.05388108) × cos(0.82192032) × R
    0.000191749999999997 × 0.680815916301864 × 6371000     		du = 831.711445379061m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82205086)-sin(0.82192032))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.680720295882583-0.680815916301864)×R²
    abs(0.05388108-0.05368933)×9.56204192809063e-05×R²
    0.000191749999999997×9.56204192809063e-05×6371000²
    0.000191749999999997×9.56204192809063e-05×40589641000000     		ar = 691661.166315793m²