Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16673 / 11040
↖ ↑ ↗
← N 50.513427°
E  3.175049°		 ← 776.80 m → N 50.513427°
E  3.186035°		 →
↑
776.88 m
↓
↑
776.88 m
↓
N 50.506440°
E  3.175049°		 ← 776.91 m →
603 522 m²		 N 50.506440°
E  3.186035°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16673 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11040 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508834838867188 y=0.336929321289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508834838867188 × 215)
    floor (0.508834838867188 × 32768)
    floor (16673.5)     		tx = 16673
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336929321289062 × 215)
    floor (0.336929321289062 × 32768)
    floor (11040.5)     		ty = 11040
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16673 / 11040 ti = "15/16673/11040"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16673/11040.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16673 ÷ 215
    16673 ÷ 32768     		x = 0.508819580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11040 ÷ 215
    11040 ÷ 32768     		y = 0.3369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508819580078125 × 2 - 1) × π
    0.01763916015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.05541506
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3369140625 × 2 - 1) × π
    0.326171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.02469916627832
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05541506} λ = 0.05541506}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02469916627832))-π/2
    2×atan(2.78625713437049)-π/2
    2×1.22621096806257-π/2
    2.45242193612514-1.57079632675     		φ = 0.88162561
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05541506} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.175049°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88162561 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.513427°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16673 KachelY 11040 0.05541506 0.88162561 3.175049 50.513427
    Oben rechts KachelX + 1 16674 KachelY 11040 0.05560680 0.88162561 3.186035 50.513427
    Unten links KachelX 16673 KachelY + 1 11041 0.05541506 0.88150367 3.175049 50.506440
    Unten rechts KachelX + 1 16674 KachelY + 1 11041 0.05560680 0.88150367 3.186035 50.506440
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88162561-0.88150367) × R
    0.000121939999999987 × 6371000     		dl = 776.879739999918m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88162561-0.88150367) × R
    0.000121939999999987 × 6371000     		dr = 776.879739999918m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05541506-0.05560680) × cos(0.88162561) × R
    0.000191739999999996 × 0.635897382051354 × 6371000     		do = 776.796687863952m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05541506-0.05560680) × cos(0.88150367) × R
    0.000191739999999996 × 0.635991487398567 × 6371000     		du = 776.911644654291m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88162561)-sin(0.88150367))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.635897382051354-0.635991487398567)×R²
    abs(0.05560680-0.05541506)×9.41053472136577e-05×R²
    0.000191739999999996×9.41053472136577e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.41053472136577e-05×40589641000000     		ar = 603522.263449506m²