Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16676 / 11556
↖ ↑ ↗
← N 46.769968°
E  3.208008°		 ← 836.74 m → N 46.769968°
E  3.218994°		 →
↑
836.77 m
↓
↑
836.77 m
↓
N 46.762443°
E  3.208008°		 ← 836.85 m →
700 202 m²		 N 46.762443°
E  3.218994°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16676 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11556 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508926391601562 y=0.352676391601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508926391601562 × 215)
    floor (0.508926391601562 × 32768)
    floor (16676.5)     		tx = 16676
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.352676391601562 × 215)
    floor (0.352676391601562 × 32768)
    floor (11556.5)     		ty = 11556
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16676 / 11556 ti = "15/16676/11556"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16676/11556.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16676 ÷ 215
    16676 ÷ 32768     		x = 0.5089111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11556 ÷ 215
    11556 ÷ 32768     		y = 0.3526611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5089111328125 × 2 - 1) × π
    0.017822265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.05599030
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3526611328125 × 2 - 1) × π
    0.294677734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.925757405462524
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05599030} λ = 0.05599030}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.925757405462524))-π/2
    2×atan(2.52377906068827)-π/2
    2×1.19354313349819-π/2
    2.38708626699638-1.57079632675     		φ = 0.81628994
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05599030} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.208008°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81628994 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.769968°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16676 KachelY 11556 0.05599030 0.81628994 3.208008 46.769968
    Oben rechts KachelX + 1 16677 KachelY 11556 0.05618205 0.81628994 3.218994 46.769968
    Unten links KachelX 16676 KachelY + 1 11557 0.05599030 0.81615860 3.208008 46.762443
    Unten rechts KachelX + 1 16677 KachelY + 1 11557 0.05618205 0.81615860 3.218994 46.762443
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81628994-0.81615860) × R
    0.000131340000000035 × 6371000     		dl = 836.767140000225m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81628994-0.81615860) × R
    0.000131340000000035 × 6371000     		dr = 836.767140000225m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05599030-0.05618205) × cos(0.81628994) × R
    0.000191749999999997 × 0.684929100734778 × 6371000     		do = 836.736272924797m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05599030-0.05618205) × cos(0.81615860) × R
    0.000191749999999997 × 0.685024790427807 × 6371000     		du = 836.853171209622m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81628994)-sin(0.81615860))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.684929100734778-0.685024790427807)×R²
    abs(0.05618205-0.05599030)×9.56896930295326e-05×R²
    0.000191749999999997×9.56896930295326e-05×6371000²
    0.000191749999999997×9.56896930295326e-05×40589641000000     		ar = 700202.327357661m²