Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 16688 / 11504
↖ ↑ ↗
← N 47.159840°
E  3.339844°		 ← 830.66 m → N 47.159840°
E  3.350830°		 →
↑
830.71 m
↓
↑
830.71 m
↓
N 47.152369°
E  3.339844°		 ← 830.78 m →
690 090 m²		 N 47.152369°
E  3.350830°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16688 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11504 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.509292602539062 y=0.351089477539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.509292602539062 × 215)
    floor (0.509292602539062 × 32768)
    floor (16688.5)     		tx = 16688
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.351089477539062 × 215)
    floor (0.351089477539062 × 32768)
    floor (11504.5)     		ty = 11504
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16688 / 11504 ti = "15/16688/11504"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16688/11504.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16688 ÷ 215
    16688 ÷ 32768     		x = 0.50927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11504 ÷ 215
    11504 ÷ 32768     		y = 0.35107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50927734375 × 2 - 1) × π
    0.0185546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.05829127
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35107421875 × 2 - 1) × π
    0.2978515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.935728280583496
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05829127} λ = 0.05829127}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.935728280583496))-π/2
    2×atan(2.54906921951791)-π/2
    2×1.19694540485905-π/2
    2.3938908097181-1.57079632675     		φ = 0.82309448
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05829127} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.339844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82309448 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.159840°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16688 KachelY 11504 0.05829127 0.82309448 3.339844 47.159840
    Oben rechts KachelX + 1 16689 KachelY 11504 0.05848302 0.82309448 3.350830 47.159840
    Unten links KachelX 16688 KachelY + 1 11505 0.05829127 0.82296409 3.339844 47.152369
    Unten rechts KachelX + 1 16689 KachelY + 1 11505 0.05848302 0.82296409 3.350830 47.152369
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82309448-0.82296409) × R
    0.000130389999999925 × 6371000     		dl = 830.71468999952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82309448-0.82296409) × R
    0.000130389999999925 × 6371000     		dr = 830.71468999952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05829127-0.05848302) × cos(0.82309448) × R
    0.000191749999999997 × 0.679955428344822 × 6371000     		do = 830.660239516587m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05829127-0.05848302) × cos(0.82296409) × R
    0.000191749999999997 × 0.680051031481173 × 6371000     		du = 830.777032060375m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82309448)-sin(0.82296409))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.679955428344822-0.680051031481173)×R²
    abs(0.05848302-0.05829127)×9.56031363502641e-05×R²
    0.000191749999999997×9.56031363502641e-05×6371000²
    0.000191749999999997×9.56031363502641e-05×40589641000000     		ar = 690090.174983872m²