Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16704 / 11583
↖ ↑ ↗
← N 46.566414°
E  3.515625°		 ← 839.89 m → N 46.566414°
E  3.526611°		 →
↑
839.95 m
↓
↑
839.95 m
↓
N 46.558860°
E  3.515625°		 ← 840.01 m →
705 520 m²		 N 46.558860°
E  3.526611°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16704 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11583 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.509780883789062 y=0.353500366210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.509780883789062 × 215)
    floor (0.509780883789062 × 32768)
    floor (16704.5)     		tx = 16704
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.353500366210938 × 215)
    floor (0.353500366210938 × 32768)
    floor (11583.5)     		ty = 11583
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16704 / 11583 ti = "15/16704/11583"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16704/11583.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16704 ÷ 215
    16704 ÷ 32768     		x = 0.509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11583 ÷ 215
    11583 ÷ 32768     		y = 0.353485107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.509765625 × 2 - 1) × π
    0.01953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.06135923
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.353485107421875 × 2 - 1) × π
    0.29302978515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.920580220303558
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06135923} λ = 0.06135923}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.920580220303558))-π/2
    2×atan(2.5107467536331)-π/2
    2×1.19176678662228-π/2
    2.38353357324456-1.57079632675     		φ = 0.81273725
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06135923} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.515625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81273725 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.566414°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16704 KachelY 11583 0.06135923 0.81273725 3.515625 46.566414
    Oben rechts KachelX + 1 16705 KachelY 11583 0.06155098 0.81273725 3.526611 46.566414
    Unten links KachelX 16704 KachelY + 1 11584 0.06135923 0.81260541 3.515625 46.558860
    Unten rechts KachelX + 1 16705 KachelY + 1 11584 0.06155098 0.81260541 3.526611 46.558860
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81273725-0.81260541) × R
    0.000131839999999994 × 6371000     		dl = 839.952639999963m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81273725-0.81260541) × R
    0.000131839999999994 × 6371000     		dr = 839.952639999963m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06135923-0.06155098) × cos(0.81273725) × R
    0.000191749999999997 × 0.687513297314588 × 6371000     		do = 839.89322889641m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06135923-0.06155098) × cos(0.81260541) × R
    0.000191749999999997 × 0.687609029827766 × 6371000     		du = 840.010179492009m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81273725)-sin(0.81260541))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.687513297314588-0.687609029827766)×R²
    abs(0.06155098-0.06135923)×9.57325131780706e-05×R²
    0.000191749999999997×9.57325131780706e-05×6371000²
    0.000191749999999997×9.57325131780706e-05×40589641000000     		ar = 705519.652432538m²