Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16720 / 11600
↖ ↑ ↗
← N 46.437857°
E  3.691406°		 ← 841.88 m → N 46.437857°
E  3.702393°		 →
↑
841.93 m
↓
↑
841.93 m
↓
N 46.430285°
E  3.691406°		 ← 842 m →
708 853 m²		 N 46.430285°
E  3.702393°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16720 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11600 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.510269165039062 y=0.354019165039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.510269165039062 × 215)
    floor (0.510269165039062 × 32768)
    floor (16720.5)     		tx = 16720
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.354019165039062 × 215)
    floor (0.354019165039062 × 32768)
    floor (11600.5)     		ty = 11600
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16720 / 11600 ti = "15/16720/11600"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16720/11600.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16720 ÷ 215
    16720 ÷ 32768     		x = 0.51025390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11600 ÷ 215
    11600 ÷ 32768     		y = 0.35400390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51025390625 × 2 - 1) × π
    0.0205078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.06442719
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35400390625 × 2 - 1) × π
    0.2919921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.917320511129395
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06442719} λ = 0.06442719}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.917320511129395))-π/2
    2×atan(2.50257577414987)-π/2
    2×1.19064491358248-π/2
    2.38128982716495-1.57079632675     		φ = 0.81049350
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06442719} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.691406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81049350 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.437857°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16720 KachelY 11600 0.06442719 0.81049350 3.691406 46.437857
    Oben rechts KachelX + 1 16721 KachelY 11600 0.06461894 0.81049350 3.702393 46.437857
    Unten links KachelX 16720 KachelY + 1 11601 0.06442719 0.81036135 3.691406 46.430285
    Unten rechts KachelX + 1 16721 KachelY + 1 11601 0.06461894 0.81036135 3.702393 46.430285
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81049350-0.81036135) × R
    0.000132149999999998 × 6371000     		dl = 841.927649999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81049350-0.81036135) × R
    0.000132149999999998 × 6371000     		dr = 841.927649999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06442719-0.06461894) × cos(0.81049350) × R
    0.000191750000000004 × 0.689140913284706 × 6371000     		do = 841.881588449462m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06442719-0.06461894) × cos(0.81036135) × R
    0.000191750000000004 × 0.689236666771762 × 6371000     		du = 841.998564667574m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81049350)-sin(0.81036135))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.689140913284706-0.689236666771762)×R²
    abs(0.06461894-0.06442719)×9.57534870559273e-05×R²
    0.000191750000000004×9.57534870559273e-05×6371000²
    0.000191750000000004×9.57534870559273e-05×40589641000000     		ar = 708852.631129821m²