Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16767 / 11647
↖ ↑ ↗
← N 46.080851°
E  4.207764°		 ← 847.38 m → N 46.080851°
E  4.218750°		 →
↑
847.41 m
↓
↑
847.41 m
↓
N 46.073231°
E  4.207764°		 ← 847.50 m →
718 126 m²		 N 46.073231°
E  4.218750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16767 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11647 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.511703491210938 y=0.355453491210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.511703491210938 × 215)
    floor (0.511703491210938 × 32768)
    floor (16767.5)     		tx = 16767
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.355453491210938 × 215)
    floor (0.355453491210938 × 32768)
    floor (11647.5)     		ty = 11647
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16767 / 11647 ti = "15/16767/11647"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16767/11647.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16767 ÷ 215
    16767 ÷ 32768     		x = 0.511688232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11647 ÷ 215
    11647 ÷ 32768     		y = 0.355438232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.511688232421875 × 2 - 1) × π
    0.02337646484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.07343933
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.355438232421875 × 2 - 1) × π
    0.28912353515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.908308374000824
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07343933} λ = 0.07343933}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.908308374000824))-π/2
    2×atan(2.48012354136036)-π/2
    2×1.18752945585429-π/2
    2.37505891170858-1.57079632675     		φ = 0.80426258
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07343933} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.207764°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.80426258 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.080851°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16767 KachelY 11647 0.07343933 0.80426258 4.207764 46.080851
    Oben rechts KachelX + 1 16768 KachelY 11647 0.07363108 0.80426258 4.218750 46.080851
    Unten links KachelX 16767 KachelY + 1 11648 0.07343933 0.80412957 4.207764 46.073231
    Unten rechts KachelX + 1 16768 KachelY + 1 11648 0.07363108 0.80412957 4.218750 46.073231
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.80426258-0.80412957) × R
    0.000133009999999989 × 6371000     		dl = 847.40670999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.80426258-0.80412957) × R
    0.000133009999999989 × 6371000     		dr = 847.40670999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07343933-0.07363108) × cos(0.80426258) × R
    0.000191750000000004 × 0.693642601453563 × 6371000     		do = 847.381027407799m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07343933-0.07363108) × cos(0.80412957) × R
    0.000191750000000004 × 0.693738404991914 × 6371000     		du = 847.498064770537m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.80426258)-sin(0.80412957))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.693642601453563-0.693738404991914)×R²
    abs(0.07363108-0.07343933)×9.58035383510358e-05×R²
    0.000191750000000004×9.58035383510358e-05×6371000²
    0.000191750000000004×9.58035383510358e-05×40589641000000     		ar = 718125.95873459m²