Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16768 / 10624
↖ ↑ ↗
← N 53.330873°
E  4.218750°		 ← 729.55 m → N 53.330873°
E  4.229737°		 →
↑
729.61 m
↓
↑
729.61 m
↓
N 53.324312°
E  4.218750°		 ← 729.67 m →
532 329 m²		 N 53.324312°
E  4.229737°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16768 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10624 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.511734008789062 y=0.324234008789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.511734008789062 × 215)
    floor (0.511734008789062 × 32768)
    floor (16768.5)     		tx = 16768
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324234008789062 × 215)
    floor (0.324234008789062 × 32768)
    floor (10624.5)     		ty = 10624
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16768 / 10624 ti = "15/16768/10624"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16768/10624.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16768 ÷ 215
    16768 ÷ 32768     		x = 0.51171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10624 ÷ 215
    10624 ÷ 32768     		y = 0.32421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51171875 × 2 - 1) × π
    0.0234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.07363108
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32421875 × 2 - 1) × π
    0.3515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.10446616724609
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07363108} λ = 0.07363108}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10446616724609))-π/2
    2×atan(3.01761313802257)-π/2
    2×1.25079782664629-π/2
    2.50159565329258-1.57079632675     		φ = 0.93079933
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07363108} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.218750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93079933 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.330873°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16768 KachelY 10624 0.07363108 0.93079933 4.218750 53.330873
    Oben rechts KachelX + 1 16769 KachelY 10624 0.07382283 0.93079933 4.229737 53.330873
    Unten links KachelX 16768 KachelY + 1 10625 0.07363108 0.93068481 4.218750 53.324312
    Unten rechts KachelX + 1 16769 KachelY + 1 10625 0.07382283 0.93068481 4.229737 53.324312
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93079933-0.93068481) × R
    0.000114520000000007 × 6371000     		dl = 729.606920000044m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93079933-0.93068481) × R
    0.000114520000000007 × 6371000     		dr = 729.606920000044m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07363108-0.07382283) × cos(0.93079933) × R
    0.000191750000000004 × 0.597193032501625 × 6371000     		do = 729.554448330528m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07363108-0.07382283) × cos(0.93068481) × R
    0.000191750000000004 × 0.597284884796966 × 6371000     		du = 729.666658699719m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93079933)-sin(0.93068481))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.597193032501625-0.597284884796966)×R²
    abs(0.07382283-0.07363108)×9.18522953406997e-05×R²
    0.000191750000000004×9.18522953406997e-05×6371000²
    0.000191750000000004×9.18522953406997e-05×40589641000000     		ar = 532328.909332075m²