Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 16768 / 11648
↖ ↑ ↗
← N 46.073231°
E  4.218750°		 ← 847.50 m → N 46.073231°
E  4.229737°		 →
↑
847.53 m
↓
↑
847.53 m
↓
N 46.065608°
E  4.218750°		 ← 847.62 m →
718 333 m²		 N 46.065608°
E  4.229737°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16768 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11648 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.511734008789062 y=0.355484008789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.511734008789062 × 215)
    floor (0.511734008789062 × 32768)
    floor (16768.5)     		tx = 16768
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.355484008789062 × 215)
    floor (0.355484008789062 × 32768)
    floor (11648.5)     		ty = 11648
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16768 / 11648 ti = "15/16768/11648"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16768/11648.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16768 ÷ 215
    16768 ÷ 32768     		x = 0.51171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11648 ÷ 215
    11648 ÷ 32768     		y = 0.35546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51171875 × 2 - 1) × π
    0.0234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.07363108
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35546875 × 2 - 1) × π
    0.2890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.908116626402344
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07363108} λ = 0.07363108}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.908116626402344))-π/2
    2×atan(2.47964802921798)-π/2
    2×1.18746294911048-π/2
    2.37492589822095-1.57079632675     		φ = 0.80412957
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07363108} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.218750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.80412957 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.073231°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16768 KachelY 11648 0.07363108 0.80412957 4.218750 46.073231
    Oben rechts KachelX + 1 16769 KachelY 11648 0.07382283 0.80412957 4.229737 46.073231
    Unten links KachelX 16768 KachelY + 1 11649 0.07363108 0.80399654 4.218750 46.065608
    Unten rechts KachelX + 1 16769 KachelY + 1 11649 0.07382283 0.80399654 4.229737 46.065608
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.80412957-0.80399654) × R
    0.000133029999999978 × 6371000     		dl = 847.534129999863m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.80412957-0.80399654) × R
    0.000133029999999978 × 6371000     		dr = 847.534129999863m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07363108-0.07382283) × cos(0.80412957) × R
    0.000191750000000004 × 0.693738404991914 × 6371000     		do = 847.498064770537m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07363108-0.07382283) × cos(0.80399654) × R
    0.000191750000000004 × 0.693834210659576 × 6371000     		du = 847.615104734526m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.80412957)-sin(0.80399654))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.693738404991914-0.693834210659576)×R²
    abs(0.07382283-0.07363108)×9.58056676626518e-05×R²
    0.000191750000000004×9.58056676626518e-05×6371000²
    0.000191750000000004×9.58056676626518e-05×40589641000000     		ar = 718333.133742939m²