Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16768 / 11904
↖ ↑ ↗
← N 44.087585°
E  4.218750°		 ← 877.48 m → N 44.087585°
E  4.229737°		 →
↑
877.54 m
↓
↑
877.54 m
↓
N 44.079693°
E  4.218750°		 ← 877.59 m →
770 073 m²		 N 44.079693°
E  4.229737°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16768 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11904 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.511734008789062 y=0.363296508789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.511734008789062 × 215)
    floor (0.511734008789062 × 32768)
    floor (16768.5)     		tx = 16768
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.363296508789062 × 215)
    floor (0.363296508789062 × 32768)
    floor (11904.5)     		ty = 11904
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16768 / 11904 ti = "15/16768/11904"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16768/11904.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16768 ÷ 215
    16768 ÷ 32768     		x = 0.51171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11904 ÷ 215
    11904 ÷ 32768     		y = 0.36328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51171875 × 2 - 1) × π
    0.0234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.07363108
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36328125 × 2 - 1) × π
    0.2734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.859029241191406
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07363108} λ = 0.07363108}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.859029241191406))-π/2
    2×atan(2.36086774777506)-π/2
    2×1.17013492238655-π/2
    2.3402698447731-1.57079632675     		φ = 0.76947352
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07363108} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.218750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76947352 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.087585°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16768 KachelY 11904 0.07363108 0.76947352 4.218750 44.087585
    Oben rechts KachelX + 1 16769 KachelY 11904 0.07382283 0.76947352 4.229737 44.087585
    Unten links KachelX 16768 KachelY + 1 11905 0.07363108 0.76933578 4.218750 44.079693
    Unten rechts KachelX + 1 16769 KachelY + 1 11905 0.07382283 0.76933578 4.229737 44.079693
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76947352-0.76933578) × R
    0.000137739999999997 × 6371000     		dl = 877.541539999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76947352-0.76933578) × R
    0.000137739999999997 × 6371000     		dr = 877.541539999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07363108-0.07382283) × cos(0.76947352) × R
    0.000191750000000004 × 0.71827707137878 × 6371000     		do = 877.475462771389m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07363108-0.07382283) × cos(0.76933578) × R
    0.000191750000000004 × 0.718372898158289 × 6371000     		du = 877.592528526439m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76947352)-sin(0.76933578))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.71827707137878-0.718372898158289)×R²
    abs(0.07382283-0.07363108)×9.5826779509256e-05×R²
    0.000191750000000004×9.5826779509256e-05×6371000²
    0.000191750000000004×9.5826779509256e-05×40589641000000     		ar = 770072.535161456m²