Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16772 / 11652
↖ ↑ ↗
← N 46.042735°
E  4.262695°		 ← 847.97 m → N 46.042735°
E  4.273682°		 →
↑
847.98 m
↓
↑
847.98 m
↓
N 46.035109°
E  4.262695°		 ← 848.08 m →
719 108 m²		 N 46.035109°
E  4.273682°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16772 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11652 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.511856079101562 y=0.355606079101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.511856079101562 × 215)
    floor (0.511856079101562 × 32768)
    floor (16772.5)     		tx = 16772
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.355606079101562 × 215)
    floor (0.355606079101562 × 32768)
    floor (11652.5)     		ty = 11652
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16772 / 11652 ti = "15/16772/11652"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16772/11652.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16772 ÷ 215
    16772 ÷ 32768     		x = 0.5118408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11652 ÷ 215
    11652 ÷ 32768     		y = 0.3555908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5118408203125 × 2 - 1) × π
    0.023681640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.07439807
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3555908203125 × 2 - 1) × π
    0.288818359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.907349636008423
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07439807} λ = 0.07439807}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.907349636008423))-π/2
    2×atan(2.4777468921694)-π/2
    2×1.18719683028095-π/2
    2.3743936605619-1.57079632675     		φ = 0.80359733
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07439807} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.262695°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.80359733 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.042735°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16772 KachelY 11652 0.07439807 0.80359733 4.262695 46.042735
    Oben rechts KachelX + 1 16773 KachelY 11652 0.07458982 0.80359733 4.273682 46.042735
    Unten links KachelX 16772 KachelY + 1 11653 0.07439807 0.80346423 4.262695 46.035109
    Unten rechts KachelX + 1 16773 KachelY + 1 11653 0.07458982 0.80346423 4.273682 46.035109
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.80359733-0.80346423) × R
    0.000133099999999997 × 6371000     		dl = 847.980099999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.80359733-0.80346423) × R
    0.000133099999999997 × 6371000     		dr = 847.980099999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07439807-0.07458982) × cos(0.80359733) × R
    0.000191750000000004 × 0.694121640366091 × 6371000     		do = 847.966240145621m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07439807-0.07458982) × cos(0.80346423) × R
    0.000191750000000004 × 0.694217447280994 × 6371000     		du = 848.083281633287m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.80359733)-sin(0.80346423))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.694121640366091-0.694217447280994)×R²
    abs(0.07458982-0.07439807)×9.58069149025187e-05×R²
    0.000191750000000004×9.58069149025187e-05×6371000²
    0.000191750000000004×9.58069149025187e-05×40589641000000     		ar = 719108.122603467m²