Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16784 / 11152
↖ ↑ ↗
← N 49.724479°
E  4.394531°		 ← 789.75 m → N 49.724479°
E  4.405518°		 →
↑
789.81 m
↓
↑
789.81 m
↓
N 49.717376°
E  4.394531°		 ← 789.86 m →
623 797 m²		 N 49.717376°
E  4.405518°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16784 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11152 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.512222290039062 y=0.340347290039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.512222290039062 × 215)
    floor (0.512222290039062 × 32768)
    floor (16784.5)     		tx = 16784
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340347290039062 × 215)
    floor (0.340347290039062 × 32768)
    floor (11152.5)     		ty = 11152
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16784 / 11152 ti = "15/16784/11152"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16784/11152.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16784 ÷ 215
    16784 ÷ 32768     		x = 0.51220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11152 ÷ 215
    11152 ÷ 32768     		y = 0.34033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51220703125 × 2 - 1) × π
    0.0244140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.07669904
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34033203125 × 2 - 1) × π
    0.3193359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.00322343524854
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07669904} λ = 0.07669904}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00322343524854))-π/2
    2×atan(2.72705817130756)-π/2
    2×1.2193261037294-π/2
    2.4386522074588-1.57079632675     		φ = 0.86785588
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07669904} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.394531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86785588 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.724479°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16784 KachelY 11152 0.07669904 0.86785588 4.394531 49.724479
    Oben rechts KachelX + 1 16785 KachelY 11152 0.07689079 0.86785588 4.405518 49.724479
    Unten links KachelX 16784 KachelY + 1 11153 0.07669904 0.86773191 4.394531 49.717376
    Unten rechts KachelX + 1 16785 KachelY + 1 11153 0.07689079 0.86773191 4.405518 49.717376
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86785588-0.86773191) × R
    0.000123969999999973 × 6371000     		dl = 789.81286999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86785588-0.86773191) × R
    0.000123969999999973 × 6371000     		dr = 789.81286999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07669904-0.07689079) × cos(0.86785588) × R
    0.000191750000000004 × 0.646463876730745 × 6371000     		do = 789.745645521458m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07669904-0.07689079) × cos(0.86773191) × R
    0.000191750000000004 × 0.64655845400442 × 6371000     		du = 789.861184831137m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86785588)-sin(0.86773191))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.646463876730745-0.64655845400442)×R²
    abs(0.07689079-0.07669904)×9.45772736747896e-05×R²
    0.000191750000000004×9.45772736747896e-05×6371000²
    0.000191750000000004×9.45772736747896e-05×40589641000000     		ar = 623796.90287497m²