Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16832 / 11712
↖ ↑ ↗
← N 45.583290°
E  4.921875°		 ← 854.99 m → N 45.583290°
E  4.932861°		 →
↑
855.05 m
↓
↑
855.05 m
↓
N 45.575600°
E  4.921875°		 ← 855.11 m →
731 112 m²		 N 45.575600°
E  4.932861°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16832 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11712 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.513687133789062 y=0.357437133789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.513687133789062 × 215)
    floor (0.513687133789062 × 32768)
    floor (16832.5)     		tx = 16832
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.357437133789062 × 215)
    floor (0.357437133789062 × 32768)
    floor (11712.5)     		ty = 11712
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16832 / 11712 ti = "15/16832/11712"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16832/11712.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16832 ÷ 215
    16832 ÷ 32768     		x = 0.513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11712 ÷ 215
    11712 ÷ 32768     		y = 0.357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.513671875 × 2 - 1) × π
    0.02734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.08590292
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.357421875 × 2 - 1) × π
    0.28515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.895844780099609
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.08590292} λ = 0.08590292}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.895844780099609))-π/2
    2×atan(2.44940412355505)-π/2
    2×1.18318740845494-π/2
    2.36637481690989-1.57079632675     		φ = 0.79557849
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.08590292} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.921875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.79557849 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.583290°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16832 KachelY 11712 0.08590292 0.79557849 4.921875 45.583290
    Oben rechts KachelX + 1 16833 KachelY 11712 0.08609467 0.79557849 4.932861 45.583290
    Unten links KachelX 16832 KachelY + 1 11713 0.08590292 0.79544428 4.921875 45.575600
    Unten rechts KachelX + 1 16833 KachelY + 1 11713 0.08609467 0.79544428 4.932861 45.575600
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.79557849-0.79544428) × R
    0.000134210000000023 × 6371000     		dl = 855.05191000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.79557849-0.79544428) × R
    0.000134210000000023 × 6371000     		dr = 855.05191000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.08590292-0.08609467) × cos(0.79557849) × R
    0.000191750000000004 × 0.699871685931871 × 6371000     		do = 854.990721498066m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.08590292-0.08609467) × cos(0.79544428) × R
    0.000191750000000004 × 0.699967541616318 × 6371000     		du = 855.107822564522m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.79557849)-sin(0.79544428))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.699871685931871-0.699967541616318)×R²
    abs(0.08609467-0.08590292)×9.58556844476988e-05×R²
    0.000191750000000004×9.58556844476988e-05×6371000²
    0.000191750000000004×9.58556844476988e-05×40589641000000     		ar = 731111.514292205m²