Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 16833 / 11073
↖ ↑ ↗
← N 50.282319°
E  4.932861°		 ← 780.63 m → N 50.282319°
E  4.943848°		 →
↑
780.70 m
↓
↑
780.70 m
↓
N 50.275298°
E  4.932861°		 ← 780.75 m →
609 488 m²		 N 50.275298°
E  4.943848°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16833 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11073 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.513717651367188 y=0.337936401367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.513717651367188 × 215)
    floor (0.513717651367188 × 32768)
    floor (16833.5)     		tx = 16833
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337936401367188 × 215)
    floor (0.337936401367188 × 32768)
    floor (11073.5)     		ty = 11073
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16833 / 11073 ti = "15/16833/11073"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16833/11073.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16833 ÷ 215
    16833 ÷ 32768     		x = 0.513702392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11073 ÷ 215
    11073 ÷ 32768     		y = 0.337921142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.513702392578125 × 2 - 1) × π
    0.02740478515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.08609467
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.337921142578125 × 2 - 1) × π
    0.32415771484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.01837149552847
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.08609467} λ = 0.08609467}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01837149552847))-π/2
    2×atan(2.76868227918885)-π/2
    2×1.2241941783599-π/2
    2.4483883567198-1.57079632675     		φ = 0.87759203
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.08609467} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.932861°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87759203 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.282319°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16833 KachelY 11073 0.08609467 0.87759203 4.932861 50.282319
    Oben rechts KachelX + 1 16834 KachelY 11073 0.08628642 0.87759203 4.943848 50.282319
    Unten links KachelX 16833 KachelY + 1 11074 0.08609467 0.87746949 4.932861 50.275298
    Unten rechts KachelX + 1 16834 KachelY + 1 11074 0.08628642 0.87746949 4.943848 50.275298
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87759203-0.87746949) × R
    0.000122540000000004 × 6371000     		dl = 780.702340000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87759203-0.87746949) × R
    0.000122540000000004 × 6371000     		dr = 780.702340000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.08609467-0.08628642) × cos(0.87759203) × R
    0.000191750000000004 × 0.639005211301205 × 6371000     		do = 780.633847080113m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.08609467-0.08628642) × cos(0.87746949) × R
    0.000191750000000004 × 0.639099464566016 × 6371000     		du = 780.748990567847m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87759203)-sin(0.87746949))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.639005211301205-0.639099464566016)×R²
    abs(0.08628642-0.08609467)×9.42532648109395e-05×R²
    0.000191750000000004×9.42532648109395e-05×6371000²
    0.000191750000000004×9.42532648109395e-05×40589641000000     		ar = 609487.618257011m²