Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16848 / 11088
↖ ↑ ↗
← N 50.176898°
E  5.097656°		 ← 782.32 m → N 50.176898°
E  5.108642°		 →
↑
782.42 m
↓
↑
782.42 m
↓
N 50.169862°
E  5.097656°		 ← 782.44 m →
612 150 m²		 N 50.169862°
E  5.108642°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16848 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11088 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.514175415039062 y=0.338394165039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.514175415039062 × 215)
    floor (0.514175415039062 × 32768)
    floor (16848.5)     		tx = 16848
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338394165039062 × 215)
    floor (0.338394165039062 × 32768)
    floor (11088.5)     		ty = 11088
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16848 / 11088 ti = "15/16848/11088"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16848/11088.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16848 ÷ 215
    16848 ÷ 32768     		x = 0.51416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11088 ÷ 215
    11088 ÷ 32768     		y = 0.33837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51416015625 × 2 - 1) × π
    0.0283203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.08897089
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33837890625 × 2 - 1) × π
    0.3232421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.01549528155127
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.08897089} λ = 0.08897089}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01549528155127))-π/2
    2×atan(2.76073039765732)-π/2
    2×1.22327420372149-π/2
    2.44654840744299-1.57079632675     		φ = 0.87575208
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.08897089} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.097656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87575208 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.176898°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16848 KachelY 11088 0.08897089 0.87575208 5.097656 50.176898
    Oben rechts KachelX + 1 16849 KachelY 11088 0.08916263 0.87575208 5.108642 50.176898
    Unten links KachelX 16848 KachelY + 1 11089 0.08897089 0.87562927 5.097656 50.169862
    Unten rechts KachelX + 1 16849 KachelY + 1 11089 0.08916263 0.87562927 5.108642 50.169862
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87575208-0.87562927) × R
    0.000122810000000029 × 6371000     		dl = 782.422510000183m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87575208-0.87562927) × R
    0.000122810000000029 × 6371000     		dr = 782.422510000183m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.08897089-0.08916263) × cos(0.87575208) × R
    0.00019174000000001 × 0.640419422818882 × 6371000     		do = 782.320702256504m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.08897089-0.08916263) × cos(0.87562927) × R
    0.00019174000000001 × 0.64051373918435 × 6371000     		du = 782.435916821581m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87575208)-sin(0.87562927))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.640419422818882-0.64051373918435)×R²
    abs(0.08916263-0.08897089)×9.43163654681944e-05×R²
    0.00019174000000001×9.43163654681944e-05×6371000²
    0.00019174000000001×9.43163654681944e-05×40589641000000     		ar = 612150.401488738m²