Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 16896 / 49664
↖ ↑ ↗
← S 67.609220°
W 87.187500°		 ← 232.66 m → S 67.609220°
W 87.182007°		 →
↑
232.67 m
↓
↑
232.67 m
↓
S 67.611313°
W 87.187500°		 ← 232.64 m →
54 131 m²		 S 67.611313°
W 87.182007°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16896 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49664 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.257820129394531 y=0.757820129394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.257820129394531 × 216)
    floor (0.257820129394531 × 65536)
    floor (16896.5)     		tx = 16896
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757820129394531 × 216)
    floor (0.757820129394531 × 65536)
    floor (49664.5)     		ty = 49664
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 16896 / 49664 ti = "16/16896/49664"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/16896/49664.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16896 ÷ 216
    16896 ÷ 65536     		x = 0.2578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49664 ÷ 216
    49664 ÷ 65536     		y = 0.7578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2578125 × 2 - 1) × π
    -0.484375 × 3.1415926535     		Λ = -1.52170894
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7578125 × 2 - 1) × π
    -0.515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.61988371196094
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.52170894} λ = -1.52170894}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61988371196094))-π/2
    2×atan(0.197921713673399)-π/2
    2×0.195396411274361-π/2
    0.390792822548722-1.57079632675     		φ = -1.18000350
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.52170894} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -87.187500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18000350 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.609220°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16896 KachelY 49664 -1.52170894 -1.18000350 -87.187500 -67.609220
    Oben rechts KachelX + 1 16897 KachelY 49664 -1.52161307 -1.18000350 -87.182007 -67.609220
    Unten links KachelX 16896 KachelY + 1 49665 -1.52170894 -1.18004002 -87.187500 -67.611313
    Unten rechts KachelX + 1 16897 KachelY + 1 49665 -1.52161307 -1.18004002 -87.182007 -67.611313
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18000350--1.18004002) × R
    3.65200000000954e-05 × 6371000     		dl = 232.668920000608m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18000350--1.18004002) × R
    3.65200000000954e-05 × 6371000     		dr = 232.668920000608m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.52170894--1.52161307) × cos(-1.18000350) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.380921588243505 × 6371000     		do = 232.662247428104m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.52170894--1.52161307) × cos(-1.18004002) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.38088782132923 × 6371000     		du = 232.641623009834m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18000350)-sin(-1.18004002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.380921588243505-0.38088782132923)×R²
    abs(-1.52161307--1.52170894)×3.37669142748687e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.37669142748687e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.37669142748687e-05×40589641000000     		ar = 54130.874509421m²