Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 16898 / 10754
↖ ↑ ↗
← N 52.469397°
E  5.646973°		 ← 744.17 m → N 52.469397°
E  5.657959°		 →
↑
744.26 m
↓
↑
744.26 m
↓
N 52.462703°
E  5.646973°		 ← 744.28 m →
553 895 m²		 N 52.462703°
E  5.657959°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16898 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10754 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515701293945312 y=0.328201293945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515701293945312 × 215)
    floor (0.515701293945312 × 32768)
    floor (16898.5)     		tx = 16898
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.328201293945312 × 215)
    floor (0.328201293945312 × 32768)
    floor (10754.5)     		ty = 10754
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16898 / 10754 ti = "15/16898/10754"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16898/10754.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16898 ÷ 215
    16898 ÷ 32768     		x = 0.51568603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10754 ÷ 215
    10754 ÷ 32768     		y = 0.32818603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51568603515625 × 2 - 1) × π
    0.0313720703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.09855827
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32818603515625 × 2 - 1) × π
    0.3436279296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.07953897944366
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09855827} λ = 0.09855827}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07953897944366))-π/2
    2×atan(2.94332230614361)-π/2
    2×1.24328002910891-π/2
    2.48656005821781-1.57079632675     		φ = 0.91576373
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09855827} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.646973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91576373 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.469397°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16898 KachelY 10754 0.09855827 0.91576373 5.646973 52.469397
    Oben rechts KachelX + 1 16899 KachelY 10754 0.09875001 0.91576373 5.657959 52.469397
    Unten links KachelX 16898 KachelY + 1 10755 0.09855827 0.91564691 5.646973 52.462703
    Unten rechts KachelX + 1 16899 KachelY + 1 10755 0.09875001 0.91564691 5.657959 52.462703
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91576373-0.91564691) × R
    0.000116820000000017 × 6371000     		dl = 744.260220000111m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91576373-0.91564691) × R
    0.000116820000000017 × 6371000     		dr = 744.260220000111m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09855827-0.09875001) × cos(0.91576373) × R
    0.000191739999999996 × 0.609185093826434 × 6371000     		do = 744.165609950961m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09855827-0.09875001) × cos(0.91564691) × R
    0.000191739999999996 × 0.609277731208735 × 6371000     		du = 744.278773511269m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91576373)-sin(0.91564691))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.609185093826434-0.609277731208735)×R²
    abs(0.09875001-0.09855827)×9.26373823004756e-05×R²
    0.000191739999999996×9.26373823004756e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.26373823004756e-05×40589641000000     		ar = 553894.972776279m²