Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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5 / 17 / 11
↖ ↑ ↗
← N 48.922499°
E 11.250000°		 ← 821.969 km → N 48.922499°
E 22.500000°		 →
↑
883.177 km
↓
↑
883.177 km
↓
N 40.979898°
E 11.250000°		 ← 944.386 km →
781 254 km²		 N 40.979898°
E 22.500000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 5 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.546875 y=0.359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=5 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.546875 × 25)
    floor (0.546875 × 32)
    floor (17.5)     		tx = 17
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.359375 × 25)
    floor (0.359375 × 32)
    floor (11.5)     		ty = 11
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 5 / 17 / 11 ti = "5/17/11"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/5/17/11.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17 ÷ 25
    17 ÷ 32     		x = 0.53125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11 ÷ 25
    11 ÷ 32     		y = 0.34375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53125 × 2 - 1) × π
    0.0625 × 3.1415926535     		Λ = 0.19634954
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34375 × 2 - 1) × π
    0.3125 × 3.1415926535     		Φ = 0.98174770421875
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19634954} λ = 0.19634954}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.98174770421875))-π/2
    2×atan(2.66911699496664)-π/2
    2×1.21232750861677-π/2
    2.42465501723354-1.57079632675     		φ = 0.85385869
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19634954} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.250000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85385869 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.922499°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17 KachelY 11 0.19634954 0.85385869 11.250000 48.922499
    Oben rechts KachelX + 1 18 KachelY 11 0.39269908 0.85385869 22.500000 48.922499
    Unten links KachelX 17 KachelY + 1 12 0.19634954 0.71523415 11.250000 40.979898
    Unten rechts KachelX + 1 18 KachelY + 1 12 0.39269908 0.71523415 22.500000 40.979898
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85385869-0.71523415) × R
    0.13862454 × 6371000     		dl = 883176.94434m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85385869-0.71523415) × R
    0.13862454 × 6371000     		dr = 883176.94434m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19634954-0.39269908) × cos(0.85385869) × R
    0.19634954 × 0.657079281492828 × 6371000     		do = 821968.674628467m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19634954-0.39269908) × cos(0.71523415) × R
    0.19634954 × 0.754939707695381 × 6371000     		du = 944386.481870146m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85385869)-sin(0.71523415))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.657079281492828-0.754939707695381)×R²
    abs(0.39269908-0.19634954)×0.0978604262025534×R²
    0.19634954×0.0978604262025534×6371000²
    0.19634954×0.0978604262025534×40589641000000     		ar = 781253572820.371m²