Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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5 / 17 / 9
↖ ↑ ↗
← N 61.606397°
E 11.250000°		 ← 594.856 km → N 61.606397°
E 22.500000°		 →
↑
648.247 km
↓
↑
648.247 km
↓
N 55.776573°
E 11.250000°		 ← 703.557 km →
421 210 km²		 N 55.776573°
E 22.500000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 5 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.546875 y=0.296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=5 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.546875 × 25)
    floor (0.546875 × 32)
    floor (17.5)     		tx = 17
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.296875 × 25)
    floor (0.296875 × 32)
    floor (9.5)     		ty = 9
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 5 / 17 / 9 ti = "5/17/9"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/5/17/9.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17 ÷ 25
    17 ÷ 32     		x = 0.53125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9 ÷ 25
    9 ÷ 32     		y = 0.28125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53125 × 2 - 1) × π
    0.0625 × 3.1415926535     		Λ = 0.19634954
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.28125 × 2 - 1) × π
    0.4375 × 3.1415926535     		Φ = 1.37444678590625
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19634954} λ = 0.19634954}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.37444678590625))-π/2
    2×atan(3.95288932384138)-π/2
    2×1.3230153918728-π/2
    2.64603078374559-1.57079632675     		φ = 1.07523446
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19634954} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.250000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.07523446 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.606397°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17 KachelY 9 0.19634954 1.07523446 11.250000 61.606397
    Oben rechts KachelX + 1 18 KachelY 9 0.39269908 1.07523446 22.500000 61.606397
    Unten links KachelX 17 KachelY + 1 10 0.19634954 0.97348484 11.250000 55.776573
    Unten rechts KachelX + 1 18 KachelY + 1 10 0.39269908 0.97348484 22.500000 55.776573
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.07523446-0.97348484) × R
    0.10174962 × 6371000     		dl = 648246.829019999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.07523446-0.97348484) × R
    0.10174962 × 6371000     		dr = 648246.829019999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19634954-0.39269908) × cos(1.07523446) × R
    0.19634954 × 0.475526001461152 × 6371000     		do = 594855.884489891m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19634954-0.39269908) × cos(0.97348484) × R
    0.19634954 × 0.562421509722991 × 6371000     		du = 703557.205272489m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.07523446)-sin(0.97348484))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.475526001461152-0.562421509722991)×R²
    abs(0.39269908-0.19634954)×0.0868955082618389×R²
    0.19634954×0.0868955082618389×6371000²
    0.19634954×0.0868955082618389×40589641000000     		ar = 421209544832.224m²