Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17002 / 10954
↖ ↑ ↗
← N 51.110420°
E  6.789551°		 ← 766.93 m → N 51.110420°
E  6.800537°		 →
↑
767 m
↓
↑
767 m
↓
N 51.103522°
E  6.789551°		 ← 767.05 m →
588 284 m²		 N 51.103522°
E  6.800537°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17002 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10954 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518875122070312 y=0.334304809570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518875122070312 × 215)
    floor (0.518875122070312 × 32768)
    floor (17002.5)     		tx = 17002
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334304809570312 × 215)
    floor (0.334304809570312 × 32768)
    floor (10954.5)     		ty = 10954
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17002 / 10954 ti = "15/17002/10954"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17002/10954.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17002 ÷ 215
    17002 ÷ 32768     		x = 0.51885986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10954 ÷ 215
    10954 ÷ 32768     		y = 0.33428955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51885986328125 × 2 - 1) × π
    0.0377197265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.11850002
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33428955078125 × 2 - 1) × π
    0.3314208984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.04118945974762
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11850002} λ = 0.11850002}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04118945974762))-π/2
    2×atan(2.83258425630979)-π/2
    2×1.23142071814384-π/2
    2.46284143628768-1.57079632675     		φ = 0.89204511
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11850002} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.789551°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89204511 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.110420°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17002 KachelY 10954 0.11850002 0.89204511 6.789551 51.110420
    Oben rechts KachelX + 1 17003 KachelY 10954 0.11869176 0.89204511 6.800537 51.110420
    Unten links KachelX 17002 KachelY + 1 10955 0.11850002 0.89192472 6.789551 51.103522
    Unten rechts KachelX + 1 17003 KachelY + 1 10955 0.11869176 0.89192472 6.800537 51.103522
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89204511-0.89192472) × R
    0.00012038999999997 × 6371000     		dl = 767.00468999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89204511-0.89192472) × R
    0.00012038999999997 × 6371000     		dr = 767.00468999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11850002-0.11869176) × cos(0.89204511) × R
    0.000191739999999996 × 0.627821514230362 × 6371000     		do = 766.931405269555m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11850002-0.11869176) × cos(0.89192472) × R
    0.000191739999999996 × 0.627915216120363 × 6371000     		du = 767.045869206432m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89204511)-sin(0.89192472))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.627821514230362-0.627915216120363)×R²
    abs(0.11869176-0.11850002)×9.37018900011299e-05×R²
    0.000191739999999996×9.37018900011299e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.37018900011299e-05×40589641000000     		ar = 588283.882648843m²