Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17031 / 10953
↖ ↑ ↗
← N 51.117317°
E  7.108155°		 ← 766.82 m → N 51.117317°
E  7.119140°		 →
↑
766.88 m
↓
↑
766.88 m
↓
N 51.110420°
E  7.108155°		 ← 766.93 m →
588 098 m²		 N 51.110420°
E  7.119140°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17031 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10953 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519760131835938 y=0.334274291992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519760131835938 × 215)
    floor (0.519760131835938 × 32768)
    floor (17031.5)     		tx = 17031
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334274291992188 × 215)
    floor (0.334274291992188 × 32768)
    floor (10953.5)     		ty = 10953
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17031 / 10953 ti = "15/17031/10953"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17031/10953.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17031 ÷ 215
    17031 ÷ 32768     		x = 0.519744873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10953 ÷ 215
    10953 ÷ 32768     		y = 0.334259033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519744873046875 × 2 - 1) × π
    0.03948974609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.12406070
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.334259033203125 × 2 - 1) × π
    0.33148193359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.0413812073461
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12406070} λ = 0.12406070}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0413812073461))-π/2
    2×atan(2.83312744961478)-π/2
    2×1.23148090528603-π/2
    2.46296181057205-1.57079632675     		φ = 0.89216548
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12406070} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.108155°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89216548 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.117317°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17031 KachelY 10953 0.12406070 0.89216548 7.108155 51.117317
    Oben rechts KachelX + 1 17032 KachelY 10953 0.12425244 0.89216548 7.119140 51.117317
    Unten links KachelX 17031 KachelY + 1 10954 0.12406070 0.89204511 7.108155 51.110420
    Unten rechts KachelX + 1 17032 KachelY + 1 10954 0.12425244 0.89204511 7.119140 51.110420
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89216548-0.89204511) × R
    0.000120369999999981 × 6371000     		dl = 766.877269999878m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89216548-0.89204511) × R
    0.000120369999999981 × 6371000     		dr = 766.877269999878m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12406070-0.12425244) × cos(0.89216548) × R
    0.00019174000000001 × 0.62772781880953 × 6371000     		do = 766.816949235312m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12406070-0.12425244) × cos(0.89204511) × R
    0.00019174000000001 × 0.627821514230362 × 6371000     		du = 766.931405269611m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89216548)-sin(0.89204511))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.62772781880953-0.627821514230362)×R²
    abs(0.12425244-0.12406070)×9.36954208322627e-05×R²
    0.00019174000000001×9.36954208322627e-05×6371000²
    0.00019174000000001×9.36954208322627e-05×40589641000000     		ar = 588098.376195142m²