Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17032 / 10936
↖ ↑ ↗
← N 51.234407°
E  7.119140°		 ← 764.91 m → N 51.234407°
E  7.130127°		 →
↑
764.97 m
↓
↑
764.97 m
↓
N 51.227528°
E  7.119140°		 ← 765.03 m →
585 175 m²		 N 51.227528°
E  7.130127°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17032 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10936 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519790649414062 y=0.333755493164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519790649414062 × 215)
    floor (0.519790649414062 × 32768)
    floor (17032.5)     		tx = 17032
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333755493164062 × 215)
    floor (0.333755493164062 × 32768)
    floor (10936.5)     		ty = 10936
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17032 / 10936 ti = "15/17032/10936"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17032/10936.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17032 ÷ 215
    17032 ÷ 32768     		x = 0.519775390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10936 ÷ 215
    10936 ÷ 32768     		y = 0.333740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519775390625 × 2 - 1) × π
    0.03955078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12425244
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333740234375 × 2 - 1) × π
    0.33251953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.04464091652026
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12425244} λ = 0.12425244}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04464091652026))-π/2
    2×atan(2.84237768950893)-π/2
    2×1.23250271268511-π/2
    2.46500542537021-1.57079632675     		φ = 0.89420910
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12425244} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.119140°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89420910 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.234407°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17032 KachelY 10936 0.12425244 0.89420910 7.119140 51.234407
    Oben rechts KachelX + 1 17033 KachelY 10936 0.12444419 0.89420910 7.130127 51.234407
    Unten links KachelX 17032 KachelY + 1 10937 0.12425244 0.89408903 7.119140 51.227528
    Unten rechts KachelX + 1 17033 KachelY + 1 10937 0.12444419 0.89408903 7.130127 51.227528
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89420910-0.89408903) × R
    0.000120070000000028 × 6371000     		dl = 764.965970000176m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89420910-0.89408903) × R
    0.000120070000000028 × 6371000     		dr = 764.965970000176m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12425244-0.12444419) × cos(0.89420910) × R
    0.000191749999999991 × 0.626135688050928 × 6371000     		do = 764.911932348732m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12425244-0.12444419) × cos(0.89408903) × R
    0.000191749999999991 × 0.626229303810978 × 6371000     		du = 765.026297035628m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89420910)-sin(0.89408903))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.626135688050928-0.626229303810978)×R²
    abs(0.12444419-0.12425244)×9.36157600496257e-05×R²
    0.000191749999999991×9.36157600496257e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.36157600496257e-05×40589641000000     		ar = 585175.341543499m²