Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 17090 / 11074
↖ ↑ ↗
← N 50.275298°
E  7.756347°		 ← 780.75 m → N 50.275298°
E  7.767334°		 →
↑
780.77 m
↓
↑
780.77 m
↓
N 50.268277°
E  7.756347°		 ← 780.86 m →
609 627 m²		 N 50.268277°
E  7.767334°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17090 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11074 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521560668945312 y=0.337966918945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521560668945312 × 215)
    floor (0.521560668945312 × 32768)
    floor (17090.5)     		tx = 17090
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337966918945312 × 215)
    floor (0.337966918945312 × 32768)
    floor (11074.5)     		ty = 11074
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17090 / 11074 ti = "15/17090/11074"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17090/11074.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17090 ÷ 215
    17090 ÷ 32768     		x = 0.52154541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11074 ÷ 215
    11074 ÷ 32768     		y = 0.33795166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52154541015625 × 2 - 1) × π
    0.0430908203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.13537380
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33795166015625 × 2 - 1) × π
    0.3240966796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.01817974792999
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13537380} λ = 0.13537380}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01817974792999))-π/2
    2×atan(2.76815144190588)-π/2
    2×1.2241329099845-π/2
    2.448265819969-1.57079632675     		φ = 0.87746949
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13537380} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.756347°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87746949 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.275298°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17090 KachelY 11074 0.13537380 0.87746949 7.756347 50.275298
    Oben rechts KachelX + 1 17091 KachelY 11074 0.13556555 0.87746949 7.767334 50.275298
    Unten links KachelX 17090 KachelY + 1 11075 0.13537380 0.87734694 7.756347 50.268277
    Unten rechts KachelX + 1 17091 KachelY + 1 11075 0.13556555 0.87734694 7.767334 50.268277
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87746949-0.87734694) × R
    0.000122549999999944 × 6371000     		dl = 780.76604999964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87746949-0.87734694) × R
    0.000122549999999944 × 6371000     		dr = 780.76604999964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13537380-0.13556555) × cos(0.87746949) × R
    0.000191750000000018 × 0.639099464566016 × 6371000     		do = 780.748990567903m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13537380-0.13556555) × cos(0.87734694) × R
    0.000191750000000018 × 0.639193715924534 × 6371000     		du = 780.864131726835m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87746949)-sin(0.87734694))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.639099464566016-0.639193715924534)×R²
    abs(0.13556555-0.13537380)×9.42513585180382e-05×R²
    0.000191750000000018×9.42513585180382e-05×6371000²
    0.000191750000000018×9.42513585180382e-05×40589641000000     		ar = 609627.255323951m²