Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17152 / 10496
↖ ↑ ↗
← N 54.162434°
E  8.437500°		 ← 715.22 m → N 54.162434°
E  8.448486°		 →
↑
715.27 m
↓
↑
715.27 m
↓
N 54.156001°
E  8.437500°		 ← 715.33 m →
511 616 m²		 N 54.156001°
E  8.448486°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17152 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10496 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523452758789062 y=0.320327758789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523452758789062 × 215)
    floor (0.523452758789062 × 32768)
    floor (17152.5)     		tx = 17152
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.320327758789062 × 215)
    floor (0.320327758789062 × 32768)
    floor (10496.5)     		ty = 10496
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17152 / 10496 ti = "15/17152/10496"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17152/10496.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17152 ÷ 215
    17152 ÷ 32768     		x = 0.5234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10496 ÷ 215
    10496 ÷ 32768     		y = 0.3203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5234375 × 2 - 1) × π
    0.046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.14726216
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3203125 × 2 - 1) × π
    0.359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.12900985985156
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14726216} λ = 0.14726216}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12900985985156))-π/2
    2×atan(3.09259288329347)-π/2
    2×1.2580545652064-π/2
    2.5161091304128-1.57079632675     		φ = 0.94531280
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14726216} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.437500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94531280 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.162434°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17152 KachelY 10496 0.14726216 0.94531280 8.437500 54.162434
    Oben rechts KachelX + 1 17153 KachelY 10496 0.14745390 0.94531280 8.448486 54.162434
    Unten links KachelX 17152 KachelY + 1 10497 0.14726216 0.94520053 8.437500 54.156001
    Unten rechts KachelX + 1 17153 KachelY + 1 10497 0.14745390 0.94520053 8.448486 54.156001
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94531280-0.94520053) × R
    0.000112269999999914 × 6371000     		dl = 715.272169999454m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94531280-0.94520053) × R
    0.000112269999999914 × 6371000     		dr = 715.272169999454m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14726216-0.14745390) × cos(0.94531280) × R
    0.000191739999999996 × 0.585489326925804 × 6371000     		do = 715.21944070361m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14726216-0.14745390) × cos(0.94520053) × R
    0.000191739999999996 × 0.585580338292153 × 6371000     		du = 715.330617962604m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94531280)-sin(0.94520053))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.585489326925804-0.585580338292153)×R²
    abs(0.14745390-0.14726216)×9.10113663487033e-05×R²
    0.000191739999999996×9.10113663487033e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.10113663487033e-05×40589641000000     		ar = 511616.322915354m²