Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17152 / 9984
↖ ↑ ↗
← N 57.326521°
E  8.437500°		 ← 659.47 m → N 57.326521°
E  8.448486°		 →
↑
659.53 m
↓
↑
659.53 m
↓
N 57.320590°
E  8.437500°		 ← 659.57 m →
434 972 m²		 N 57.320590°
E  8.448486°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17152 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9984 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523452758789062 y=0.304702758789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523452758789062 × 215)
    floor (0.523452758789062 × 32768)
    floor (17152.5)     		tx = 17152
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.304702758789062 × 215)
    floor (0.304702758789062 × 32768)
    floor (9984.5)     		ty = 9984
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17152 / 9984 ti = "15/17152/9984"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17152/9984.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17152 ÷ 215
    17152 ÷ 32768     		x = 0.5234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9984 ÷ 215
    9984 ÷ 32768     		y = 0.3046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5234375 × 2 - 1) × π
    0.046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.14726216
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3046875 × 2 - 1) × π
    0.390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.22718463027344
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14726216} λ = 0.14726216}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22718463027344))-π/2
    2×atan(3.41161105636743)-π/2
    2×1.28566643543521-π/2
    2.57133287087041-1.57079632675     		φ = 1.00053654
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14726216} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.437500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00053654 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.326521°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17152 KachelY 9984 0.14726216 1.00053654 8.437500 57.326521
    Oben rechts KachelX + 1 17153 KachelY 9984 0.14745390 1.00053654 8.448486 57.326521
    Unten links KachelX 17152 KachelY + 1 9985 0.14726216 1.00043302 8.437500 57.320590
    Unten rechts KachelX + 1 17153 KachelY + 1 9985 0.14745390 1.00043302 8.448486 57.320590
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00053654-1.00043302) × R
    0.000103519999999913 × 6371000     		dl = 659.525919999443m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00053654-1.00043302) × R
    0.000103519999999913 × 6371000     		dr = 659.525919999443m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14726216-0.14745390) × cos(1.00053654) × R
    0.000191739999999996 × 0.539850745277805 × 6371000     		do = 659.468465682123m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14726216-0.14745390) × cos(1.00043302) × R
    0.000191739999999996 × 0.539937881458637 × 6371000     		du = 659.574909109277m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00053654)-sin(1.00043302))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.539850745277805-0.539937881458637)×R²
    abs(0.14745390-0.14726216)×8.71361808323368e-05×R²
    0.000191739999999996×8.71361808323368e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.71361808323368e-05×40589641000000     		ar = 434971.648027916m²