Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17156 / 12036
↖ ↑ ↗
← N 43.036776°
E  8.481446°		 ← 892.87 m → N 43.036776°
E  8.492431°		 →
↑
892.96 m
↓
↑
892.96 m
↓
N 43.028745°
E  8.481446°		 ← 892.99 m →
797 348 m²		 N 43.028745°
E  8.492431°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17156 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12036 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523574829101562 y=0.367324829101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523574829101562 × 215)
    floor (0.523574829101562 × 32768)
    floor (17156.5)     		tx = 17156
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.367324829101562 × 215)
    floor (0.367324829101562 × 32768)
    floor (12036.5)     		ty = 12036
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17156 / 12036 ti = "15/17156/12036"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17156/12036.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17156 ÷ 215
    17156 ÷ 32768     		x = 0.5235595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12036 ÷ 215
    12036 ÷ 32768     		y = 0.3673095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5235595703125 × 2 - 1) × π
    0.047119140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.14802915
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3673095703125 × 2 - 1) × π
    0.265380859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.833718558192017
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14802915} λ = 0.14802915}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.833718558192017))-π/2
    2×atan(2.30186245475748)-π/2
    2×1.1609648824678-π/2
    2.32192976493559-1.57079632675     		φ = 0.75113344
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14802915} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.481446°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75113344 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.036776°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17156 KachelY 12036 0.14802915 0.75113344 8.481446 43.036776
    Oben rechts KachelX + 1 17157 KachelY 12036 0.14822089 0.75113344 8.492431 43.036776
    Unten links KachelX 17156 KachelY + 1 12037 0.14802915 0.75099328 8.481446 43.028745
    Unten rechts KachelX + 1 17157 KachelY + 1 12037 0.14822089 0.75099328 8.492431 43.028745
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75113344-0.75099328) × R
    0.000140160000000056 × 6371000     		dl = 892.959360000355m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75113344-0.75099328) × R
    0.000140160000000056 × 6371000     		dr = 892.959360000355m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14802915-0.14822089) × cos(0.75113344) × R
    0.000191739999999996 × 0.730915802407826 × 6371000     		do = 892.868866020854m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14802915-0.14822089) × cos(0.75099328) × R
    0.000191739999999996 × 0.73101144989362 × 6371000     		du = 892.985706649962m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75113344)-sin(0.75099328))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.730915802407826-0.73101144989362)×R²
    abs(0.14822089-0.14802915)×9.56474857940481e-05×R²
    0.000191739999999996×9.56474857940481e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.56474857940481e-05×40589641000000     		ar = 797347.779438481m²