Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17666 / 10498
↖ ↑ ↗
← N 54.149567°
E 14.084473°		 ← 715.48 m → N 54.149567°
E 14.095459°		 →
↑
715.53 m
↓
↑
715.53 m
↓
N 54.143133°
E 14.084473°		 ← 715.59 m →
511 984 m²		 N 54.143133°
E 14.095459°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17666 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10498 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.539138793945312 y=0.320388793945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.539138793945312 × 215)
    floor (0.539138793945312 × 32768)
    floor (17666.5)     		tx = 17666
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.320388793945312 × 215)
    floor (0.320388793945312 × 32768)
    floor (10498.5)     		ty = 10498
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17666 / 10498 ti = "15/17666/10498"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17666/10498.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17666 ÷ 215
    17666 ÷ 32768     		x = 0.53912353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10498 ÷ 215
    10498 ÷ 32768     		y = 0.32037353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53912353515625 × 2 - 1) × π
    0.0782470703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.24582042
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32037353515625 × 2 - 1) × π
    0.3592529296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.1286263646546
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24582042} λ = 0.24582042}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1286263646546))-π/2
    2×atan(3.09140711615911)-π/2
    2×1.2579422815824-π/2
    2.5158845631648-1.57079632675     		φ = 0.94508824
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24582042} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.084473°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94508824 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.149567°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17666 KachelY 10498 0.24582042 0.94508824 14.084473 54.149567
    Oben rechts KachelX + 1 17667 KachelY 10498 0.24601217 0.94508824 14.095459 54.149567
    Unten links KachelX 17666 KachelY + 1 10499 0.24582042 0.94497593 14.084473 54.143133
    Unten rechts KachelX + 1 17667 KachelY + 1 10499 0.24601217 0.94497593 14.095459 54.143133
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94508824-0.94497593) × R
    0.000112310000000004 × 6371000     		dl = 715.527010000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94508824-0.94497593) × R
    0.000112310000000004 × 6371000     		dr = 715.527010000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24582042-0.24601217) × cos(0.94508824) × R
    0.000191749999999991 × 0.585671358488496 × 6371000     		do = 715.479119130332m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24582042-0.24601217) × cos(0.94497593) × R
    0.000191749999999991 × 0.58576238750974 × 6371000     		du = 715.590323755573m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94508824)-sin(0.94497593))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.585671358488496-0.58576238750974)×R²
    abs(0.24601217-0.24582042)×9.10290212438047e-05×R²
    0.000191749999999991×9.10290212438047e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.10290212438047e-05×40589641000000     		ar = 511984.420322984m²