Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17668 / 11011
↖ ↑ ↗
← N 50.715591°
E 14.106446°		 ← 773.47 m → N 50.715591°
E 14.117431°		 →
↑
773.57 m
↓
↑
773.57 m
↓
N 50.708634°
E 14.106446°		 ← 773.58 m →
598 372 m²		 N 50.708634°
E 14.117431°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17668 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11011 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.539199829101562 y=0.336044311523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.539199829101562 × 215)
    floor (0.539199829101562 × 32768)
    floor (17668.5)     		tx = 17668
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336044311523438 × 215)
    floor (0.336044311523438 × 32768)
    floor (11011.5)     		ty = 11011
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17668 / 11011 ti = "15/17668/11011"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17668/11011.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17668 ÷ 215
    17668 ÷ 32768     		x = 0.5391845703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11011 ÷ 215
    11011 ÷ 32768     		y = 0.336029052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5391845703125 × 2 - 1) × π
    0.078369140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.24620392
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.336029052734375 × 2 - 1) × π
    0.32794189453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.03025984663425
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24620392} λ = 0.24620392}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03025984663425))-π/2
    2×atan(2.80179377680109)-π/2
    2×1.22797518707496-π/2
    2.45595037414991-1.57079632675     		φ = 0.88515405
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24620392} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.106446°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88515405 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.715591°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17668 KachelY 11011 0.24620392 0.88515405 14.106446 50.715591
    Oben rechts KachelX + 1 17669 KachelY 11011 0.24639566 0.88515405 14.117431 50.715591
    Unten links KachelX 17668 KachelY + 1 11012 0.24620392 0.88503263 14.106446 50.708634
    Unten rechts KachelX + 1 17669 KachelY + 1 11012 0.24639566 0.88503263 14.117431 50.708634
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88515405-0.88503263) × R
    0.000121420000000039 × 6371000     		dl = 773.566820000247m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88515405-0.88503263) × R
    0.000121420000000039 × 6371000     		dr = 773.566820000247m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24620392-0.24639566) × cos(0.88515405) × R
    0.000191739999999996 × 0.633170272370695 × 6371000     		do = 773.465317383162m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24620392-0.24639566) × cos(0.88503263) × R
    0.000191739999999996 × 0.633264248305253 × 6371000     		du = 773.580116086166m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88515405)-sin(0.88503263))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.633170272370695-0.633264248305253)×R²
    abs(0.24639566-0.24620392)×9.39759345572888e-05×R²
    0.000191739999999996×9.39759345572888e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.39759345572888e-05×40589641000000     		ar = 598371.508916709m²