Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17920 / 13824
↖ ↑ ↗
← N 27.059126°
E 16.875000°		 ← 1 087.92 m → N 27.059126°
E 16.885986°		 →
↑
1 087.98 m
↓
↑
1 087.98 m
↓
N 27.049342°
E 16.875000°		 ← 1 088.01 m →
1 183 677 m²		 N 27.049342°
E 16.885986°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17920 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13824 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.546890258789062 y=0.421890258789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.546890258789062 × 215)
    floor (0.546890258789062 × 32768)
    floor (17920.5)     		tx = 17920
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421890258789062 × 215)
    floor (0.421890258789062 × 32768)
    floor (13824.5)     		ty = 13824
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17920 / 13824 ti = "15/17920/13824"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17920/13824.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17920 ÷ 215
    17920 ÷ 32768     		x = 0.546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13824 ÷ 215
    13824 ÷ 32768     		y = 0.421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.546875 × 2 - 1) × π
    0.09375 × 3.1415926535     		Λ = 0.29452431
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.421875 × 2 - 1) × π
    0.15625 × 3.1415926535     		Φ = 0.490873852109375
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.29452431} λ = 0.29452431}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.490873852109375))-π/2
    2×atan(1.63374324634155)-π/2
    2×1.02153358221551-π/2
    2.04306716443102-1.57079632675     		φ = 0.47227084
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.29452431} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.875000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47227084 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.059126°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17920 KachelY 13824 0.29452431 0.47227084 16.875000 27.059126
    Oben rechts KachelX + 1 17921 KachelY 13824 0.29471606 0.47227084 16.885986 27.059126
    Unten links KachelX 17920 KachelY + 1 13825 0.29452431 0.47210007 16.875000 27.049342
    Unten rechts KachelX + 1 17921 KachelY + 1 13825 0.29471606 0.47210007 16.885986 27.049342
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47227084-0.47210007) × R
    0.000170770000000042 × 6371000     		dl = 1087.97567000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47227084-0.47210007) × R
    0.000170770000000042 × 6371000     		dr = 1087.97567000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.29452431-0.29471606) × cos(0.47227084) × R
    0.000191749999999991 × 0.890537558006442 × 6371000     		do = 1087.91563445977m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.29452431-0.29471606) × cos(0.47210007) × R
    0.000191749999999991 × 0.890615229954677 × 6371000     		du = 1088.01052156036m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47227084)-sin(0.47210007))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.890537558006442-0.890615229954677)×R²
    abs(0.29471606-0.29452431)×7.76719482351584e-05×R²
    0.000191749999999991×7.76719482351584e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.76719482351584e-05×40589641000000     		ar = 1183677.36161023m²