Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18180 / 10500
↖ ↑ ↗
← N 54.136696°
E 19.731445°		 ← 715.66 m → N 54.136696°
E 19.742431°		 →
↑
715.78 m
↓
↑
715.78 m
↓
N 54.130259°
E 19.731445°		 ← 715.78 m →
512 299 m²		 N 54.130259°
E 19.742431°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18180 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10500 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.554824829101562 y=0.320449829101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.554824829101562 × 215)
    floor (0.554824829101562 × 32768)
    floor (18180.5)     		tx = 18180
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.320449829101562 × 215)
    floor (0.320449829101562 × 32768)
    floor (10500.5)     		ty = 10500
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18180 / 10500 ti = "15/18180/10500"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18180/10500.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18180 ÷ 215
    18180 ÷ 32768     		x = 0.5548095703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10500 ÷ 215
    10500 ÷ 32768     		y = 0.3204345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5548095703125 × 2 - 1) × π
    0.109619140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.34437869
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3204345703125 × 2 - 1) × π
    0.359130859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.12824286945764
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.34437869} λ = 0.34437869}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12824286945764))-π/2
    2×atan(3.09022180367356)-π/2
    2×1.25782996305057-π/2
    2.51565992610113-1.57079632675     		φ = 0.94486360
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.34437869} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 19.731445°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94486360 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.136696°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18180 KachelY 10500 0.34437869 0.94486360 19.731445 54.136696
    Oben rechts KachelX + 1 18181 KachelY 10500 0.34457043 0.94486360 19.742431 54.136696
    Unten links KachelX 18180 KachelY + 1 10501 0.34437869 0.94475125 19.731445 54.130259
    Unten rechts KachelX + 1 18181 KachelY + 1 10501 0.34457043 0.94475125 19.742431 54.130259
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94486360-0.94475125) × R
    0.000112349999999983 × 6371000     		dl = 715.781849999894m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94486360-0.94475125) × R
    0.000112349999999983 × 6371000     		dr = 715.781849999894m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.34437869-0.34457043) × cos(0.94486360) × R
    0.000191739999999996 × 0.585853425350789 × 6371000     		do = 715.664214433725m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.34437869-0.34457043) × cos(0.94475125) × R
    0.000191739999999996 × 0.585944472006548 × 6371000     		du = 715.775434801398m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94486360)-sin(0.94475125))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.585853425350789-0.585944472006548)×R²
    abs(0.34457043-0.34437869)×9.1046655758209e-05×R²
    0.000191739999999996×9.1046655758209e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.1046655758209e-05×40589641000000     		ar = 512299.260684934m²