Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18184 / 10504
↖ ↑ ↗
← N 54.110943°
E 19.775391°		 ← 716.11 m → N 54.110943°
E 19.786377°		 →
↑
716.23 m
↓
↑
716.23 m
↓
N 54.104502°
E 19.775391°		 ← 716.22 m →
512 937 m²		 N 54.104502°
E 19.786377°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18184 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10504 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.554946899414062 y=0.320571899414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.554946899414062 × 215)
    floor (0.554946899414062 × 32768)
    floor (18184.5)     		tx = 18184
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.320571899414062 × 215)
    floor (0.320571899414062 × 32768)
    floor (10504.5)     		ty = 10504
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18184 / 10504 ti = "15/18184/10504"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18184/10504.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18184 ÷ 215
    18184 ÷ 32768     		x = 0.554931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10504 ÷ 215
    10504 ÷ 32768     		y = 0.320556640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.554931640625 × 2 - 1) × π
    0.10986328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.34514568
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.320556640625 × 2 - 1) × π
    0.35888671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.12747587906372
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.34514568} λ = 0.34514568}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12747587906372))-π/2
    2×atan(3.0878525419517)-π/2
    2×1.25760522124267-π/2
    2.51521044248533-1.57079632675     		φ = 0.94441412
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.34514568} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 19.775391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94441412 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.110943°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18184 KachelY 10504 0.34514568 0.94441412 19.775391 54.110943
    Oben rechts KachelX + 1 18185 KachelY 10504 0.34533742 0.94441412 19.786377 54.110943
    Unten links KachelX 18184 KachelY + 1 10505 0.34514568 0.94430170 19.775391 54.104502
    Unten rechts KachelX + 1 18185 KachelY + 1 10505 0.34533742 0.94430170 19.786377 54.104502
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94441412-0.94430170) × R
    0.000112420000000002 × 6371000     		dl = 716.227820000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94441412-0.94430170) × R
    0.000112420000000002 × 6371000     		dr = 716.227820000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.34514568-0.34533742) × cos(0.94441412) × R
    0.000191739999999996 × 0.586217632404934 × 6371000     		do = 716.109120862563m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.34514568-0.34533742) × cos(0.94430170) × R
    0.000191739999999996 × 0.58630870617028 × 6371000     		du = 716.220374346646m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94441412)-sin(0.94430170))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.586217632404934-0.58630870617028)×R²
    abs(0.34533742-0.34514568)×9.1073765346561e-05×R²
    0.000191739999999996×9.1073765346561e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.1073765346561e-05×40589641000000     		ar = 512937.116477691m²