Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18440 / 10248
↖ ↑ ↗
← N 55.727110°
E 22.587890°		 ← 687.95 m → N 55.727110°
E 22.598877°		 →
↑
687.94 m
↓
↑
687.94 m
↓
N 55.720923°
E 22.587890°		 ← 688.06 m →
473 305 m²		 N 55.720923°
E 22.598877°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18440 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10248 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562759399414062 y=0.312759399414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562759399414062 × 215)
    floor (0.562759399414062 × 32768)
    floor (18440.5)     		tx = 18440
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.312759399414062 × 215)
    floor (0.312759399414062 × 32768)
    floor (10248.5)     		ty = 10248
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18440 / 10248 ti = "15/18440/10248"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18440/10248.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18440 ÷ 215
    18440 ÷ 32768     		x = 0.562744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10248 ÷ 215
    10248 ÷ 32768     		y = 0.312744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.562744140625 × 2 - 1) × π
    0.12548828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.39423306
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.312744140625 × 2 - 1) × π
    0.37451171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.17656326427466
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39423306} λ = 0.39423306}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17656326427466))-π/2
    2×atan(3.24320897575996)-π/2
    2×1.27170894019067-π/2
    2.54341788038135-1.57079632675     		φ = 0.97262155
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39423306} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.587890°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97262155 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.727110°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18440 KachelY 10248 0.39423306 0.97262155 22.587890 55.727110
    Oben rechts KachelX + 1 18441 KachelY 10248 0.39442481 0.97262155 22.598877 55.727110
    Unten links KachelX 18440 KachelY + 1 10249 0.39423306 0.97251357 22.587890 55.720923
    Unten rechts KachelX + 1 18441 KachelY + 1 10249 0.39442481 0.97251357 22.598877 55.720923
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97262155-0.97251357) × R
    0.000107979999999896 × 6371000     		dl = 687.940579999341m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97262155-0.97251357) × R
    0.000107979999999896 × 6371000     		dr = 687.940579999341m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39423306-0.39442481) × cos(0.97262155) × R
    0.000191749999999991 × 0.563135111979201 × 6371000     		do = 687.947955846903m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39423306-0.39442481) × cos(0.97251357) × R
    0.000191749999999991 × 0.563224339571258 × 6371000     		du = 688.056959775543m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97262155)-sin(0.97251357))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.563135111979201-0.563224339571258)×R²
    abs(0.39442481-0.39423306)×8.92275920573171e-05×R²
    0.000191749999999991×8.92275920573171e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.92275920573171e-05×40589641000000     		ar = 473304.810327806m²